Révision méthode - base de sous-espace vectoriel.

[novicemaths]

Bonsoir



On a et et

et après pour trouver le deuxième vecteur, je pourrai peut-être essayer et , .

J'ignore si c'est exact, je n'ai pas encore compris la logique de ces calculs.

Je ne vois pas comment déterminer mathématiquement le deuxième vecteur.

A bientôt

[hdci]

Bonjour,

On a et et

Cette équivalence est fausse. En effet, le triplet vérifie l'équation et pourtant z n'est pas nul puisqu'il vaut moins un.

Si vous voulez trouver deux vecteurs libres, vous considérez d'une part et vous cherchez "deux nombres y et z non tous deux nuls " qui satisfont l'équation, puis vous considérez et vous cherchez "deux nombres y et z" qui satisfont l'équation.
Ainsi : (0,1,2) est un premier vecteur, et (1,0,-1) est un second vecteur.
On peut évidemment trouver ainsi une infinité d'autres bases, le fait de prendre "x=0" est tout à fait arbitraire dans ce cas.

[novicemaths]

Bonsoir

Afin que je puisse m'entrainer, voici un nouvel sous espace vectoriel que je souhait étudier.

Je vais démontrer que c'est bien un sous espace vectoriel, et je vais chercher la dimension de sa base.



Première étape:





Deuxième étape:

On a et

D'où et

Ainsi

Troisième étape





Est -ce que ce pour prouver que est un sous espace vectoriel est correct ?

Je vais refaire l'analyse pour déterminer la base de

Famille libre.

, donc



Soit

On a




La famille est libre, maintenant on cherche la famille génératrice.



D'où

On en déduit que et

Je ne pense pas qu'il y est un gros calcul à la fin.

Donc, est de dimension 2.

Pourriez-vous me corriger ?

Merci !!

A bientôt

[hdci]

Bonjour,

Pour montrer que c'est un sous-espace, c'est correct. On peut faire plus rapidement en montrant que pour tout dans F et pour tout scalaire , on a (la stabilité interne et externe en un seul coup, cela ne complexifie en général pas les calculs et on ne fait le travail qu'une seule fois au lieu de deux.

Pou la base, on peut faire plus simple, beaucoup plus simple : étant donné qu'on a ici une simple relation du genre : cela donne trois coordonnées (x, y, z) variables, unies dans une égalité : si on "fixe" deux coordonnées, la troisième est forcément fixées. Ainsi, si le coefficient c est non nul on divise tout par c puis on écrit z=f(x,y). Il n'y a plus qu'à fixer x=0, y=1 d'une part, et x=1, y=0 d'autre part, et on voit qu'on obtient un système générateur de F puisque tous les vecteurs sont combinaisons linéaires de (0,1,f(0,1)) et (1,0,f(1,0)), et libre car on ne peut pas multiplier (0,1,z) par un lambda pour trouver (1,0,z') compte tenu des zéros.