Problème de probabilité

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Frelon
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Problème de probabilité

par Frelon » 15 Mai 2021, 23:55

Bonjour,

Je suis actuellement entrain de réviser le chapitre des probabilités car j'ai mon examen dans une semaine, je suis actuellement à la fin de mon fascicule de 50 exercices mais j'ai vraiment beaucoup de problème à m'en sortir quand je ne peux illustrer par un dessin le problème.

Par exemple, on estime que en moyenne 2 hommes sur 5 et 1 femme sur 3 fument.

Sur 5 hommes choisis au hasard, quelle est la probabilité qu'il y ait 2 fumeurs et 3 non-fumeurs ?

J'ai du regarder la réponse car j'allais presque m'arracher les cheveux et c'est effectivement 2/5 ^2 x 3/5 ^3 x C (5;2) Pour moi la réponse n'a aucun sens j'y arrive pas, en tout cas je sais que je serais jamais tombé là-dessus.

Si vous avez des conseils c'est volontiers!



lyceen95
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Re: Problème de probabilité

par lyceen95 » 16 Mai 2021, 00:09

On estime qu'en moyenne 2 hommes sur 5 fument.

Si je reformule cette phrase comme ci-dessous, est-ce que ça t'aide : On estime qu'en moyenne 40% des hommes fument.

Vassillia

Re: Problème de probabilité

par Vassillia » 16 Mai 2021, 00:11

Bonjour, je ne sais pas en quelle classe tu es mais pour moi, la résolution la plus simple passe par les variables aléatoires.
= le nombre de fumeurs parmi 5 hommes choisis au hasard suit une loi binomiale de paramètre donc
Comment y penser ? Dès que tu compte le nombre de succès sur une répétition d'expériences d'indépendantes où chaque expérience à la même probabilité de succès, cela doit devenir un réflexe.

hdci
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Re: Problème de probabilité

par hdci » 16 Mai 2021, 00:17

Bonjour,

Un bon moyen de "comprendre" est de tracer un arbre, sauf que l'arbre ne peut guère dépasser 3 ou 4 itérations (au-delà, cela fait beaucoup trop de branches). en effet, "2 fumeurs parmi 5 hommes rencontrés au hasard", cela revient à répéter 5 fois de suite "je prends un homme au hasard et je regarde s'il fume ou pas", avec la probabilité "2/5 qu'il fume". Le nombre total de chemins est exactement gal à 2 puissance 5 puisqu'on double les cas à chaque itération.

Commençons : premier homme : soit il fume, soit il ne fume pas.
Second homme : à partir de chacun des deux cas précédent, soit il fume, soit il ne fume pas. On a donc à ce stade 4 possibilités : (F,F) ; ( F, pas F) ; (pas F, F) et (pas F, pas F)
Troisième homme : même chose, donc (F,F,F), (F,F pas F), etc. cela fait 8 possibilités.
Sur chacune des branches, on indique la probabilité : 2/5 pour F, 3/5 pour "pas F". Et la règle est : pour un chemin donné, les probabilités rencontrées se multiplient Donc pour un chemin ayant 1 fumeur et 2 non fumeur (sur 3), cela fait 2/5 fois 3/5 fois 3/5.

Le fait d'avoir un arbre avec 5 étapes au lieu de 3 ne change pas grand chose : pour un chemin qui comporte exactement 2 fumeurs et 3 non fumeurs, on multiplie les probabilités rencontrées et cela fait 2/5 fois 2/5 fois 3/5 fois 3/5 fois 3/5, soit en fait (2/5) au carré, multiplié par (3/5) au cube.

S'il y avait n répétitions, un chemin ayant exactement k fumeurs (donc n-k non fumeurs) aurait une probabilité de (2/5) puissance k, multipliée par (3/5) puissance (n-k).

Maintenant, cela c'est pour un chemin : par exemple, (F,pas F, pas F, F, pas F) est un chemin comportant 2 fumeurs et 3 non fumeurs. Mais il y a un autre chemin possible : (pas F, F, F, pas F, pas F). Et en fait il y a plein d'autres chemins possibles.
Le nombre de chemin, c'est ça le fameux "coefficient binomial" qui vaut C(5;2), signifiant "2 parmi 5". Et comme tous les chemins comportant 2 fumeurs ont chacun la même probabilité : (2/5) au carré multiplié par (3/5) au cube, et l'événement "2 fumeurs parmi 5" correspondant à l'ensemble de ces chemins, la probabilité de "2 fumeurs parmi 5" est la somme des probabilités de ces chemins, soit le coefficient binomial multiplié par (2/5) au carré multiplié par (3/5) au cube.

Généralisation : si la probabilité de succès est p, s'il y a n répétitions et si on s'intéresse à la probabilité d'avoir k succès, on a donc C(n,k), le coefficient binomial "k parmi n", multiplié par (p puissance k) car il y a k succès de probabilité p chacun, multiplié par (1-p) puissance (n-k), car s'il y a k succès sur n, il y a donc (n-k) échecs, et si la proba du succès est p, la proba de l'échec est 1-p, ce qui donne
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Frelon
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Re: Problème de probabilité

par Frelon » 16 Mai 2021, 00:20

Vassillia a écrit:Bonjour, je ne sais pas en quelle classe tu es mais pour moi, la résolution la plus simple passe par les variables aléatoires.
= le nombre de fumeurs parmi 5 hommes choisis au hasard suit une loi binomiale de paramètre donc
Comment y penser ? Dès que tu compte le nombre de succès sur une répétition d'expériences d'indépendantes où chaque expérience à la même probabilité de succès, cela doit devenir un réflexe.

Je suis désolé mais je n'ai pas compris c'est du chinois pour moi.

Mon souci c'est le C (5;2) je comprends pas on sélectionne 2 des 5 mais de quoi ?

hdci
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Re: Problème de probabilité

par hdci » 16 Mai 2021, 00:33

Au passage,



La notation avec C est celle que j'ai apprise (il y a 40 ans...) mais maintenant on utilise la seconde version.

Prenez bien le temps de lire mon (long) message, j'y indique que c'est "le nombre de chemins possibles dans l'arbre", on peut le voir comme "le nombre de quintuplets comportant deux fumeurs" ; pour simplifier je note F les fumeurs et N les non-fumeurs, les cas où on rencontre 2 fumeurs parmi 5 sont de façon exhaustive :
(FFNNN) ; (FNFNN) ; (FNNFN) ; (FNNNF) ; (NFFNN) , (NFNFN) ; (NFNNF) ; (NNFFN) ; (NNFNF) ; (NNNFF)
Il y en a 10.
Donc

Il existe une formule qui donne ce coefficient binomial de façon générique



On note cela avec des factorielles : représente le produit des entiers de 1 à n (avec par convention) et la formule précédente devient

Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Vassillia

Re: Problème de probabilité

par Vassillia » 16 Mai 2021, 01:23

Juste par curiosité hdci, c'est normal dans le programme du lycée de devoir faire ce genre de raisonnement seul ? C'est attendu sans avoir introduit les variables aléatoires qui vont bien, cela m'étonne pédagogiquement parlant quand je vois la difficulté des étudiants même dans le supérieur pour dénombrer. Je suis plus ou moins au courant des connaissances supposées acquises à la sortie de la terminale mais aucune idée de l'ordre dans lequel c'est enseigné.

lyceen95
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Re: Problème de probabilité

par lyceen95 » 16 Mai 2021, 01:59

Je pense que quand on est devant un exercice compliqué comme ça, il faut commencer par chercher des questions intermédiaires, des questions qu'on sait faire , et qui ressemblent un peu à la question posée.

On considère que dans la population française 40% des hommes fument (je trouve que cette formulation est plus classique que celle de l'énoncé).
On prend 5 hommes au hasard dans la rue.
Question n°1 : quelle est la probabilité qu'aucun des 5 ne fume ?
Question n°2 : quelle est la probabilité que le premier fume, mais pas les 4 autres ?
Question n°3 : quelle est la probabilité que les 2 premiers fument, mais pas les 3 autres ?
Question finale : quelle est la probabilité qu'exactement 2 hommes parmi les 5 fument ?

En avançant à petits pas comme ça, on commence avec des questions simples, et on aboutit à des questions compliquées. Et à chaque étape, on arrive à voir ce qu'il faut changer dans la réponse pour trouver la nouvelle réponse.

beagle2

Re: Problème de probabilité

par beagle2 » 16 Mai 2021, 10:31

Juste pour "compléter hdci".

L'arbre est un support physique au raisonnement car on peut raisonner avec les départs vers le haut et les départs vers le bas. (meme sans aller jusqu'a faire +1 haut , -1 bas, on peut faire dans une feuille grand carreau des ça monte et cela descend en prenant les diagonales des carreaux.

Ensuite prendre un exemple pour voir comment cela marche, c'est ici au moins deux façons.
Comme lycéen je progresse 1 puis 2 puis 3 hommes et je vais généraliser.
Cela peut aussi et d'emblée ètre je prends un exemple de ce qui peut se passer dans l'arbre.
Si fumeur c'est on monte, non fumeur on descend,
ben tu fais un dessin qui par exemple,
descend, monte, descend, descend, monte
un deuxieme monte, monte, descend , descend , descend
et le truc marrant avec les carreaux c'est que tu arrives au meme endroit.

le reste est identique à hdci , il y a équivalence à regarder monte descend que (F, pasF, F, Pas F, pasF)

on arrive bien à une meme probabilité de base sur les chemins, et cette proba sera à multiplier par le nombre de chemins possibles pour cette proba de base.

Bref, juste pour regarder que alors que la planche de Galton renseigne sur la loi binomiale avec un exemple physique de haut en bas,
et bien les chemins dans l'arbre de probabilité renseignent de la meme façon avec un exemple physique horizontal

hdci
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Re: Problème de probabilité

par hdci » 16 Mai 2021, 10:34

@Vassilia,
La loi binomiale est introduite avec ou après les variables aléatoires.

En STMG :
  • En 1ère, on fait les probabilités conditionnelles puis les variables aléatoires avec la notion d'espérance, puis l'épreuve de Bernoulli et le schéma de Bernoulli (mais uniquement pour aborder superficiellement l'échantillonnage).
  • En terminale, on revoit ces notions et on aborde alors la loi binomiale. Dans mon cours cette année j'insiste sur le cas avec 3 répétitions puisque c'et assez "visible" (en terme d'arbre) et facile à compter, puis on donne le coefficient binomiale. La formule avec factorielle n'est pas au programme, mais le triangle de Pascal l'est (citation du programme : "calculer les coefficients binomiaux à l'aide du triangle de Pascal pour ; sinon c'est à la calculatrice (car c'est bien connu que les maths c'est savoir appuyer sur les touches d'une télécommande).

En spécialité :
  • En 1ère, on fait les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires de façon générique (avec espérance, variance) mais sans s'attacher à des lois particulières.
  • En terminale, on traite de l'indépendance, on traite de la somme de variables aléatoires puis le produit par un réel, application au calcul de l'espérance et de la variance ; puis on passe aux variables usuelles (loi de Bernoulli, loi binomiale) avec application de ce qui précède. Je mets dans mon cours les formules des coefficients binomiaux (avec le dénombrement et la preuve du triangle par récurrence et par calcul direct). Egalement, sur les chapitres au programme mais hors programme de l'écrit, il y a la loi des grands nombres (avec Markov, Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration et limite de cette inégalité).
  • La formule avec les factorielles est en fait vue "ailleurs" dans le programme, dans un chapitre "dénombrement" (que j'ai fait en début d'année de terminale). Les probabilités donnent l'occasion de remettre cette partie en oeuvre pour dénombrer les "chemins".

Enfin, la construction "en arbre" a été en principe faite en seconde, à l'occasion de l'introduction des probabilités et de l'enchaînement d'expérience. Mais avec les deux années folles qu'on vient de faire, il y a fort à parier que cette partie soit passée à la trappe pour beaucoup d'élèves, soit que le prof n'aie pas eu le temps de traiter, soit que pendant le confinement des élèves aient confondus "distanciel" avec "vacances au fond de mon lit avec connexion pour faire semblant"

Enfin, pour l'aspect "faire ce genre de raisonnement seul" : je ne peux le comprendre que comme une activité préparatoire (mais alors la répétition par 5 me semble osée), mais je crois qu'ici notre ami Frelon a plutôt l'interrogation "j'ai vu en cours les formules mais cela ressemble à des formules magiques". Ce qui est assez le cas pour les STMG il faut bien le dire, mais pour une spécialité cela aurait dû être travaillé sur l'aspect raisonnement. Mais là encore, avec un bac "à l'arraché", un manque de visibilité et le fait que certains lycées n'ont pas pu maintenir le présentiel pour les spécialités, on peut penser que le prof soit allé un peu vite sur ce sujet. (juste pour caler : en principe l'épreuve écrite était pour mi-mars ; soit 13 chapitres à faire en 24 semaines, c'est une course contre la montre, COVID ou pas COVID, avec l'apparition des équa diff, des primitives, du dénombrement, de notions ensemblistes plus poussées, de la continuité, des limites... Que des choses bien simples à ingurgiter).
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Black Jack

Re: Problème de probabilité

par Black Jack » 16 Mai 2021, 10:55

Bonjour,

On commence par chercher le nombre de types de groupes de 5 personnes avec 2 fumeurs et 3 non fumeurs.

C'est C(5,2) = 10

On peut ici facilement tous les citer (car nombre limité)

Avec F pour fumeur et X pour non fumeur, les groupes possibles sont :

FFXXX
FXFXX
FXXFX
FXXXF
XFFXX
XFXFX
XFXXF
XXFFX
XXFXF
XXXFF

Ceci correspond bien à la définition de la combinaison C(5,2)
C'est à dire, combien y a-t-il de façons de mettre 2 fumeurs exactement dans un groupe de 5 personnes.


***
On cherche alors la proba liée à chacun des groupes :

Par exemple pour FFXXX, c'est (2/5) * (2/5) * (3/5) * (3/5) * (3/5) = (2/5)² * (3/5)³

La proba est évidemment la même pour n'importe quel autre groupe (un produit de facteurs est commutatif)

Donc la proba cherchée est C(5,2) * (2/5)² * (3/5)³

8-)

Vassillia

Re: Problème de probabilité

par Vassillia » 16 Mai 2021, 16:00

@hdci Merci pour ces précisions, c'est un peu dommage de ne pas donner la formule avec les factorielles, ce n'est pas si compliqué et je trouve que cela aide à comprendre ce que l'on dénombre justement mais j'imagine que l'on ne peut pas tout faire vu le temps imparti.
Tu viens de m'apprendre que les inégalités de Markov et Bienyaimé-Tchebychev sont au programme, je les présente dans les FACs où j'en ai besoin et pour les étudiants, cela semble totalement nouveau. Ils m'ont arnaqués les petits malins car je n'ai quasiment que des spécialités qui ont eu le BAC avec mention et pour certains dans les bons lycées parisiens où je ne peux pas croire qu'il y a des impasses.
Sinon, je partage ton inquiétude sur le manque probable de connaissances pour la prochaine promotion mais on ne peut pas en vouloir ni aux profs ni aux élèves, ce n'est pas facile vu les circonstances, on rattrapera le coup comme on pourra.

hdci
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Re: Problème de probabilité

par hdci » 16 Mai 2021, 18:35

Vassillia a écrit:Tu viens de m'apprendre que les inégalités de Markov et Bienyaimé-Tchebychev sont au programme, je les présente dans les FACs où j'en ai besoin et pour les étudiants, cela semble totalement nouveau. Ils m'ont arnaqués les petits malins car je n'ai quasiment que des spécialités qui ont eu le BAC avec mention et pour certains dans les bons lycées parisiens où je ne peux pas croire qu'il y a des impasses.

Attention, c'est au programme de la réforme, et c'est la première année. Je ne sais pas ce qu'il y avait l'an dernier. Markov d'ailleurs n'est pas fondamentalement au programme (B-T l'est par contre), mais comme la démonstration est quasiment identique "en plus simple", et que plusieurs livres la présentent, je l'ai fait.

Vassillia a écrit: c'est un peu dommage de ne pas donner la formule avec les factorielles
*
euh oui, mais ce sont des STMG, ils ont déjà énormément de mal avec les carrés et les racines carrées (quand ce n'est pas avec les fractions simples...), rajouter un truc avec un point d'exclamation beaucoup prendront cela pour une simple ponctuation de "c'est merveilleux !"... Le cours est prévu la semaine prochaine pour ma terminale STMG et je leur donnerai quand même la formule (mais non exigible et de toute façon le bac blanc est passé).
Vassillia a écrit:Sinon, je partage ton inquiétude sur le manque probable de connaissances pour la prochaine promotion mais on ne peut pas en vouloir ni aux profs ni aux élèves, ce n'est pas facile vu les circonstances, on rattrapera le coup comme on pourra.

Exactement pareil pour les collégiens qu'on va recevoir en septembre...
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

 

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