Limite d'une fonction définie sur un espace produit

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

Soit n dans IN.
Soient (E1,|| ||1), ... , (En,|| ||n) des IK-ev normés.
Soit || || la norme produit des normes || ||1, ..., || ||n.
Soit F un IK-ev normé.
Soient A1x...xAn une partie de E1x...xEn.
Soit f une fct de A1x...xAn dans E1x...xEn.
Soient (a1,...,an) dans l'adhérence de A1x...xAn et b dans F.

Est-ce que:
" pour tout entier i dans [1,n] , la fct de Ai dans F qui à tout xi dans Ai associe f(a1,...,a(i-1),xi,a(i+1),...,an) admet pour limite b en ai (avec la norme || ||i sur Ei) "
implique:
" f admet pour limite b en (a1,...,an) (avec la norme produit || || sur E) "
?

(j'ai remarqué que la réciproque est vraie)

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Qu'appelles-tu "norme produit" ?

[Guigui1Pierre]

C'est la norme sur E1x...xEn qui à tout (x1,...,xn) de E1x...xEn associe le maximum de { ||xi||i / i entier dans [1,n] }.

[Guigui1Pierre]

Je crois que j'ai un exemple qui montre que c'est faux:

Si on prend la fct f de IR²\(0,0) dans IR qui à tout (x,y) associe xy/(x²+y²) et le point (0,0), alors l'application partielle qui à tout x dans IR* associe f(x,0) est nulle tandis que la fct qui à tout x dans IR* associe f(x,x) est la fct constante qui vaut 1/2.
Donc f ne peut pas avoir de limite en (0,0).
C'est correct?

[GaBuZoMeu]

Oui, et pourtant toutes les restrictions de f à des droites passant par l'origine sont continues (même en fait constantes).