Fct définie par une intégrale

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

Pour tout n sup ou égal à 1 ,
on définit la fct A[n] qui à tout x strictement supérieur à 0 associe A[n](x) = l'intégrale de 0 à +oo de dt/(x+t²)^n

J'ai vérifié que cette intégrale converge et que
pour tout n et pour tout x : A[n]'(x) = -nA[n+1](x)

Je dois faire une récurrence pour montrer que pour tout n et pour tout x :
A[n](x) = (Pi/(2n-1)) ( (2n)!/((4^n)n!) ) x^-((2n-1) / 2)

J'ai vérifié l'initialisation.
Je suppose l'égalité vraie à un rang n.
Je dérive:
A[n]'(x) = -(Pi/2) ( (2n)!/((4^n)n!) ) x^-( (2(n+1)-1) / 2 )
J'ai donc:
A[n+1](x) = - A[n]'(x) / n
= (Pi/n) ( (2n)! / (2(4^n)n!) ) x^-( (2(n+1)-1) / 2 )
= (Pi/n) (1/(2n+1)) ( (2n+2)! / ((4^(n+1) ) (n+1)!) x^-( (2(n+1)-1) / 2 )
= (1/n) ( Pi/(2(n+1)-1) ) ( (2(n+1))! / ((4^(n+1)) (n+1)!) ) x^-( (2(n+1)-1) / 2 )

Donc je tombe quasiment sur ce qu'il faut pour vérifier la récurrence sauf qu'il y a le terme 1/n.
Ai-je fait une erreur de calcul?

[Sa Majesté]

Il y a effectivement un facteur 1/n.
Tu peux le voir aussi en dérivant A[n](x) et en vérifiant que tu ne tombes pas sur -nA[n+1](x).