J'ai un problème avec mon livre de maths
algèbre J.Lelong-Ferrand & J.M.Arnaudiès edit Dunod université
Il me semble se contredire quand à la définition d'une action transitive quand on considère l'action d'un groupe sur l'ensemble vide
Il donne deux définitions qu'il présente comme équivalente:
-Dans la première définition mon livre déclare :
L'action d'un groupe G sur un ensemble E est transitive si il n'existe qu'une seule et unique G-orbite de E
Avec cette définition il n'y a pas d'action transitive d'un groupe sur l'ensemble vide
En effet puisque la partition de l'ensemble vide c'est lui-même (l'ensemble de ses classes est l'ensemble vide de sorte qu'il ne possède aucun élément donc aucune classes et du coup il n'existe aucune G-orbite de l'ensemble vide quel que soit un groupe qui agira sur lui)
-Dans la deuxième définition, mon livre déclare:
Pour l'action (à gauche ) d'un groupe G sur un ensemble E cette action est transitive
et en notant
Le problème c'est qu'avec cette seconde définition l'action sur l'ensemble vide est transitive
bah alors laquelle de ces deux définitions doit on prendre?
Après une recherche sur internet il me semble que Bourbaki donne la première définition et interdit donc que l'action d'un groupe sur l'ensemble vide soit transitive mais je préfère vous demander car si je me trompe ce sera catastrophique pour moi car je ne suis ni étudiant ni mathématicien ni rien en fait (en fait je bosse dans l'industrie du secteur de l'emballage (je bosse dans le "rien" , vous voyez le genre du coup)