Problème besoin de vous

[dragama]

alors la prof de math nou a donné vendredi le problème suivant:

Soit p un nombre fixé. on considère l'ensemble des rectangles de périmètre p (p nombre strictement positif). Montrer que celui dont l'aire est maximale est un carré .

aidez moi je ocnte sur vous merci davance !!

[Elsa_toup]

Bonjour,

Soit x la longueur du rectangle. Comme son périmètre est p = 2*(longueur+largeur), c'est que la largeur est p/2 - longueur, soit p/2-x.

Donc son aire est longueur * largeur = x(p/2-x) = xp/2-x².
On note donc f(x) = -x²+xp/2.
f '(x) = -2x+p/2.
f '(x) > 0 pour x < p/4 et f '(x) < 0 pour x > p/4.
Donc la fonction f qui donne l'aire en fonction de la longueur est croissante jusqu'en p/4 et décroissante ensuite et s'annule en p/4.
Donc son maximum est atteint en x=p/4, donc quand sa longueur est p/4.

Dans ce cas, sa largeur est p/2-x = p/2-p/4 = p/4.

Donc sa longueur est bien égale à sa largeur: c'est un carré !