Term S - Fermat

[dakou]

Bonjour, je bloque à partir de la seconde question de cet exercice, si quelqu'un veut bien me donner une idée. Merci.

n est un entier naturel.
1) Démontrer que n^7 - n est divisible par 7.
2) En utilisant les congruences, démontrer que n^7-n est divisible par 6.
3) Peut-on en déduire que n^7-n est divisible par 42 ?

[dakou]

Je rafraichis mon sujet.

[dakou]

Personne n'a une petite idée ? svp

[Elsa_toup]

Bonjour,

.
Comme 1 est racine évidente, on a:
=
Comme -1 est racine évidente, on a:
=

Pour 7, je sais pas trop.
Mais pour 6, on regarde (n-1)n(n+1).
C'est le produit de 3 nombres consécutifs, donc l'un au moins est pair, et l'un seulement est multiple par 3.
Donc c'est divisible par 6.

3). Oui. Si c'est divisible par 6 et par 7, comme ils sont premiers entre eux, c'est divisible par leur ppcm, qui est 42.

(je réfléchis encore pour 7, mais si quelqu'un a une idée....)

[Nightmare]

Bonjour

Pour 7, il suffit de lire le titre du message...

Si 7 divise n, c'est réglé.
Si 7 ne divise pas n, alors d'après le petit théorème de fermat, d'où n^6-1 est divisible par 7

:happy3:

[BancH]

2) En utilisant les congruences, démontrer que n^7-n est divisible par 6.

Pour la solution avec les congruences:



car
car
car
car