Simple pari avec une pièce.

[leon1789]

Bonjour

J'ai petit exercice concernant un jeu utilisant une pièce de monnaie (équilibrée) et des paris face à une banque (comme dans les casinos).

Le joueur a un magot de M euros sur la table devant lui.
A chaque tour, il mise 75% de son magot (m = 0.75 * M ) et il lance la pièce.
Si la pièce tombe sur pile, le joueur perd sa mise m, son magot se trouve donc diminué M - m.
mais si la pièce tombe sur face, alors le joueur récupère sa mise m, mais la banque lui donne sa mise m + 50%.
Son magot se trouve alors augmenté M + 1.5m .

Bref, si le joueur perd lors d'un lancer, alors son magot devient M - m = 0.25 * M ;
et si le joueur gagne lors d'un lancer, alors son magot devient M + 1.5*m = 2.125 * M
Et le joueur continu à parier de nouveau...

Est-il raisonnable que le joueur joue suivant ces règles ?
Quels sont le gain moyen ou la perte moyenne par pari ?

Quel calcul doit-on réaliser pour estimer l'espérance de gain/perte ?
Merci.

[Vassillia]

Bonjour Leon1789,
Mon instinct me dit que tu attends la réponse de quelqu'un en particulier donc je ne dis rien.
En tout cas, moi je veux bien l'adresse du casino

[leon1789]

Bonjour Vassilia,
j'attends la réponse que n'importe qui, et plus on est de fous, plus on rit

Alors toi, par exemple ! Tu en penses quoi ? Tu voudrais bien être la joueuse ? tu penses gagner de l'argent face au casino ?

[lyceen95]

Les théories s'appliquent à des trucs additifs.
Par exemple, à chaque lancer, je gagne 1 avec une proba P et je perds 1 avec une proba 1-p, quelle est l'espérance au bout de n lancers ?
Ici, on n'a pas un processus additif. Comme c'est bête, comment faire ?

Ahhh, bonne nouvelle, si C représente le capital du joueur, ln(C) suit une loi additive !
A chaque lancer , si je perds , alors mon ln(C) diminue de ln(4), et si je gagne, mon ln(C) augmente de ln(2.125).
Le jeu est totalement déséquilibré.
Je refuse de jouer contre le casino.

[leon1789]

Ok, on est dans un processus multiplicatif, c'est exact.
Mais maintenant, on peut se dire très rigoureusement cela : avant de lancer plusieurs fois, il faut lancer une première fois ! LOL
Je réfléchis pour ce premier lancer, et je me dis que je verrai ensuite pour le second lancer...

Pour ce premier lancer, on perd 75% du magot ou on en gagne 112.5 % avec la même probabilité. Donc on a largement intérêt à jouer car la perte 75 est très inférieur au gain 112. Non ?

Et tu me vois venir :
une fois le premier tour réalisé et payé comme il se doit, arrive le second tour, et avec le même raisonnement, le joueur sera poussé à rejouer... encore et encore.

C'est paradoxale, non ?

Allez, il faut se défendre ...

[Vassillia]

Tout cela semble très amusant en effet. Avant de me décider, je m’inquiète un petit peu de savoir sous quelles conditions on arrête l’expérience.
Sachant que de toute façon, je n'ai ni fortune illimitée (bien dommage) ni vie éternelle (à nouveau bien dommage), il va bien falloir dire stop à un moment.

[leon1789]

Pour le coté fortune :
- même s'il est le plus malchanceux de l'univers, le joueur ne perdra jamais davantage que son magot initial : il n'y a pas de recave (comme on dit au poker, par exemple).
- coté casino, on peut se poser la question de savoir quand le casino décrétera faillite. Disons qu'on a une banque très riche : un million de milliard d'euros.

Pour le coté temps de jeu :
on peut se fixer une nombre de lancers maximum : disons 100 lancers maxi.
Chaque tour durant moins de 10 secondes, dans un quart d'heure votre sort sera réglé si la partie dure 100 tours (moins longtemps si le joueur s'arrête avant).

Alors, il est mathématiquement intéressant de jouer... ou pas ?

[Vassillia]

Ah ben non, 100 c'est trop, je vais me faire avoir !
Je joue un certain nombre de parties quand même (ne serait-ce que parceque je suis joueuse ).
Je ne sais pas ni combien ni s'il y a une stratégie optimale m'enfin, au moins le premier pari est forcément intéressant mathématiquement parlant, le contraire me parait insensé.

[leon1789]

En effet, le premier lancer est mathématiquement intéressant :
quel que soit M0,
la probabilité d'avoir M1 = 0.25 M0 est 1/2
la probabilité d'avoir M1 = 2.125 M0 est 1/2

Mais après ce premier lancer, on en regarde un nouveau :
quel que soit M1,
la probabilité d'avoir M2 = 0.25 M1 est 1/2
la probabilité d'avoir M2 = 2.125 M1 est 1/2
tout aussi intéressant que le premier...

Alors ?

[Vassillia]

Tu es un bon vendeur mais j'hésite un peu plus déjà
= montant après lancers et on vient de trouver

Je calcule l’espérance de de 2 manières différentes :


Donc


Plus abordable au lycée, prend les valeurs :
avec une proba de 1/4 (échec-échec)
avec une proba de 1/2 (succès-échec ou échec-succès)
avec une proba de 1/4 (succès-succès)
Donc

Plus généralement, sauf erreur de ma part, .
Problème la distribution des valeurs n'est pas du tout symétrique : il y a très souvent des petites valeurs et plus rarement de très grosses valeurs.
En regardant la médiane , donc définie telle que on devrait avoir
si n est pair :
si n est impair :

Laisse moi deviner, tu es en train de batailler sur le soi disant "postulat de la moyenne" ? Je soutiens l'effort

Code: Tout sélectionner

def Casino(n) :
    esperance = 0
    for k in range(n+1):
         esperance += 0.25**k * 2.125**(n-k) * combin(n,k)/2**n
    if n%2 ==0 : mediane = 0.25**(n/2)*2.125**(n/2)
    else : mediane = (0.25**((n+1)/2)*2.125**((n-1)/2) + 0.25**((n-1)/2)*2.125**((n+1)/2))/2
    return (esperance, mediane)

def combin(n, k):
    if k > n//2:
        k = n-k
    x = 1
    y = 1
    i = n-k+1
    while i <= n:
        x = (x*i)//y
        y += 1
        i += 1
    return x

for i in range(11): 
    (esperance, mediane) = (Casino(i))
    print("Pour {0} tirages, l'esperance vaut {1} et la médiane {2}".format(i,esperance,mediane))


Résultat avec pour montant initial 1 :
Pour 0 tirages, l'esperance vaut 1.0 et la médiane 1.0
Pour 1 tirages, l'esperance vaut 1.1875 et la médiane 1.1875
Pour 2 tirages, l'esperance vaut 1.41015625 et la médiane 0.53125
Pour 3 tirages, l'esperance vaut 1.674560546875 et la médiane 0.630859375
Pour 4 tirages, l'esperance vaut 1.9885406494140625 et la médiane 0.2822265625
Pour 5 tirages, l'esperance vaut 2.361392021179199 et la médiane 0.33514404296875
Pour 6 tirages, l'esperance vaut 2.804153025150299 et la médiane 0.149932861328125
Pour 7 tirages, l'esperance vaut 3.32993171736598 et la médiane 0.17804527282714844
Pour 8 tirages, l'esperance vaut 3.9542939143721014 et la médiane 0.0796518325805664
Pour 9 tirages, l'esperance vaut 4.69572402331687 et la médiane 0.09458655118942261
Pour 10 tirages, l'esperance vaut 5.576172277688784 et la médiane 0.0423150360584259

[leon1789]

Bonjour Vassillia,
Merci pour ton investissement !

Ainsi, ce jeu serait perdant-perdant pour 10 tirages :
- perdant pour le joueur car la médiane est proche de 0 ;
- perdant pour le casino, car avec de nombreux joueurs, en moyenne le casino déboursera plus de 5 M0 par joueur.

On commence à comprendre que joueur et casino ont intérêt à analyser des statistiques (ici médiane et moyenne) différentes.

Seulement, le problème reste là :
si tu veux bien jouer un premier tour (tes calculs montrent qu'il y a un avantage pour le joeur),
pourquoi n'en ferais-tu pas un second (qui serait en réalité le premier après le premier) ?
etc, petit à petit, jusqu'à 10 par exemple ?...

[Vassillia]

Je me suis arrêtée à 10 pour rester sur des formules niveau lycée mais si j'utilise la récurrence sur l’espérance ou la définition des coefficients binomiaux (et donc la formule du binôme de Newton).
tend vers car suite géométrique de raison >1 avec
équivalente à tend vers 0 car suite géométrique de raison <1
La situation ne va pas s'arranger tout de suite si tu veux mon avis.

Je ne sais pas ce que tu attends comme argument, mais je vais essayer de l'expliquer autrement.
- Si on vient de gagner on a mais si on perd ensuite on aura .
La deuxième fois, on a prit un trop gros risque et on vient de "gacher" notre avantage.
- Si on vient de perdre on a même si on gagne ensuite on aura .
La deuxième fois, on n'a plus les moyens financiers de miser suffisamment pour se "refaire".

Mais je te propose une petite modification, est-ce que tu m'autorises à miser 52% au lieu de 75% ? Je veux bien prendre le risque de perdre plus de la moitié, je suis de bonne foi, non ?
Tu peux toujours te dire que cela me servira à te payer un café s'il continu à faire beau chez toi le jour de l'anniversaire de Sa Majesté

[leon1789]

Je suis tout à fait d'accord avec tes calculs
y compris avec tes interprétations (gâcher, se refaire, ... et le café ! )

Je vais préciser ma question.

Pour le premier tour (), tu connais et, si je ne me trompe pas, tu dis "oui, je lance la pièce, quel que soit mon magot".
Ok, je comprends pourquoi (cf tes calculs plus haut).

Pour , tu connais maintenant . Veux-tu lancer à nouveau la pièce ou pas ?
Ta réponse peut dépendre de .

Vu tes deux interprétations, est-ce que tu dirais que tu ne lances pas au second tour ? mais le second lancer pile/face ne dépend pas du premier lancer pile/face... donc l'espoir au second tour est identique à celui du premier tour, quelle que soit la situation. Donc logiquement, on devrait reprendre la même décision, non ?

[Vassillia]

Une stratégie intuitive (peut-être pas la meilleure) est de jouer jusqu'à perdre pour la première fois. Ensuite de toute façon, ce sera galère à rattraper donc je sécurise le capital quitte à revenir le lendemain.
Soit S la variable aléatoire qui donne le montant en sortie, elle prend les valeurs :
avec proba
avec proba
...
avec proba

La médiane ne va plus diminuer, elle vaut or j'ai déjà accepté le risque de 50% de chances de repartir avec en jouant la première fois donc peu importe.
L'esperance devient
Certes la probabilité de sortir gagnant du jeu n'est que de , c'est 2 fois moins que pour un seul tirage mais une espérance non bornée, c'est trop tentant.
Allez je joue !

Petite simulation où je calcule 20 moyennes empiriques obtenues sur 1000 jours où je joue 1. Je remercie au passage GaBuZoMeu, je me suis largement inspiré de son code https://www.maths-forum.com/enigmes/nombre-faces-successifs-t231339.html#p1457713 comme je ne connais pas vraiment Python, je lui donnerai un % de mes gains le cas échéant

Code: Tout sélectionner

from random import*

def Simulation(m) :
    montant=m
    tirage=randrange(2)
    while tirage==1 :
        montant *= 2.125
        tirage=randrange(2)
    return montant*0.25

def Statistique(n,m) :
    moy=0
    for i in range(n):
        moy += Simulation(m)/n
    return moy

for i in range(20):
    print (Statistique(1000,1))

2.102718838203699
16.622244253759174
11.413729155175963
44.650152743597374
6.615156410685201
11.246148561694358
416.5093611320921
3.150084177486342
3.695326866573387
1.979785243501919
44.826232894024244
2.4079459432160966
1.553902585463602
1.7511734054852512
4.492726236672177
1.5799233149588259
1.4798571583498394
4.051003615160709
1.8960010793972903
1.8823060667254248
J'ai clairement eu de la chance pour avoir une moyenne à plus de 416 mais c'est systématiquement supérieur à l’espérance lorsque je joue 1 seul fois. Sans regret, qui dit mieux comme stratégie ?

[leon1789]

Bonjour
la discussion prend une belle tournure. Cela rappelle le paradoxe de Saint-Petersbourg.


En effet, si on rejoue tant que l'on ne perd pas, alors
la probabilité de gain est de (il faut deux tirages face pour commencer) ;
la médiane de la stratégie est environ ;
l'espérance de gain est infinie !


Autre stratégie : on rejoue tant que l'on ne gagne pas, alors
la probabilité de gain est de ;
la médiane de la stratégie est environ ;
l'espérance de gain est environ (pour l'essentiel avec un tirage face au premier lancer).

[Vassillia]

Pour la médiane, tu as pris le milieu entre et . Je suis d'accord, je ne sais jamais en fonction du contexte si je dois prendre la médiane statistique comme tu viens de le faire et comme je l'ai fais precedemment ou bien la définition avec la fonction de répartition qui donne mais c'est un détail.
J'étais sûre qu'une variable aléatoire où la loi des grands nombres ne peut pas s'appliquer te ferait plaisir Je ne connaissais pas le paradoxe de Saint Pétersbourg. J'ai été assez surprise quand j'ai vu que la variable "toute bête" à laquelle j'avais pensé donnait ce genre de résultat.
En pratique, puisque la fortune du casino est limité, il va déclarer fin de partie avant donc l'esperance sera bien limitée. Mais même avec cette contrainte, je joue ! Pour l'instant, je préfère ma stratégie et toi alors que fais tu ?

[leon1789]

Lorsque une variable X suit une loi de probabilité discrète ou continue,
"une" médiane est donnée par et .
Si la loi de probabilité est continue, alors la médiane est unique.

En statistique, on prend souvent la moyenne des valeurs centrales.

Que fais-je par rapport au jeu ici ? Ben... je n'ai pas encore vraiment compris pourquoi on pourrait se persuader (via tout argument mathématique) de commencer à jouer et se persuader (avec le même argument mathématique !) de s'arrêter au bout d'un certain nombre de lancers. C'est quand même intrigant.

Par exemple, tu dis "avec un magot initial, je joue jusqu'à ce que pile se produise". Ok.
Mais au moment où tu arrêtes, je pourrais dire "à mon tour, avec ton magot actuel, je joue jusqu'à ce que pile se produise", et du coup, si on se relaie avec Lycéen95, les lancers s'enchaînent comme si on n'avait pas de stratégie. Ou si on veut présenter la chose autrement, puisque les lancers pile/face sont indépendants, on pourrait jouer avec plusieurs pièces en même temps...

Je ne dis pas cela pour toi, ou parce que je refuserais tes arguments qui sont clairs, etc, mais simplement parce qu'il y a encore un truc que je n'ai pas encore bien compris. Il faut que je prenne un peu de temps.

[Vassillia]

Effectivement avec "une" médiane pour les variables discrètes, c'est nettement mieux, il n'y a plus d’ambiguïté. Mea inculpa, mauvaise habitude due à mon métier où les définitions sont fluctuantes en fonction des enseignants. Private joke : je vois parfois "la loi normale est la loi du monde vivant" (arf, je ne peux plus m’empêcher de penser à quelqu'un quand je lis cela, c'est pas complétement faux mais cela mériterait quand même un cadre plus précis)

Bref, je vais essayer de te vendre ma stratégie dans la configuration avec casino ayant une fortune limitée qui est plus facile à imaginer. Dès que la loi des grands nombres ne s'applique plus, je ne visualise plus grand chose et pour cause, il n'y a pas de convergence.

On vient de montrer que je vais sortir en moyenne avec un montant supérieur à l'entrée. Si tu reprends mon pactole et que tu fais la même stratégie, ta marge de progression est moins bonne que la mienne puisque tu as déjà commencé à dévaliser le casino (certes un tout petit peu comme je pars de 1).
Et pour ce pauvre Lyceen95, ce sera pire, déjà qu'il ne voulait pas jouer du tout, tu ne risques pas de le convaincre. Tu imagines bien que dès que tu dépasses une certains somme, ce serait un très mauvais choix de continuer à jouer, le casino ne te payera pas si tu gagnes par contre il va bien tout empocher si tu perds et tu te retrouves avec une espérance conditionnelle négative. C'est bien dommage car c'est justement cette très faible probabilité de très grande valeur qui rend la stratégie intéressante et tu ne l'as plus ou en tout cas, tu l'as moins plus tu démarres d'un gros montant.

[leon1789]

Ok

[Vassillia]

La mission difficile maintenant : convaincre un casino de jouer avec une espérance par pari positive pour le joueur donc négative pour lui. Cet événement me parait être de probabilité nulle

Mais peut-on démontrer que c'est la meilleure stratégie ? Je ne sais pas le faire, d'autant plus qu'on reste dans le cas facile : nombre de tirage limité soit par le moment du premier échec, soit par la faillite du casino. Dès qu'on passe en illimité, c'est nettement moins évident de s'y retrouver et à mon avis, c'est pour cela que c'est contre intuitif.