Sous anneau de Q

[OscarLacoste]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour cette question s'il vous plaît :
On a :
Je dois montrer que pour tout élément dans A, il existe k entre 0 et p-1 tel que
p est premier
Puis en déduire que
J'ai tenté plusieurs truc mais je n'arrive pas à conclure.
J'ai déjà montré par les questions précédentes que A est un sous anneau de Q, que un élément "a" est inversible équivaut à "a" n'est pas dans Ap, et que Ap était le seul idéal maximal de A.
( je ne sais pas si ça peut aider )

Merci pour votre lecture et votre future aide!

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Soit avec non multiple de , autrement dit inversible modulo . Tu cherches un entier tel que soit multiple de , autrement dit tel que soit congru à modulo ...

Tu vois ?

[OscarLacoste]

Bonjour, oui je vois,
il faudrait un tel que ?
donc ?
?
est-ce cela notre dans {0,...,p-1}??

[GaBuZoMeu]

Hum ... ta façon d'écrire me semble un peu dangereuse.

Essaie d'écrire ça plus correctement, en utilisant par exemple une identité de Bézout entre et .

[OscarLacoste]

alors comme p ne divise pas n on a grâce à Bézout qu’il existe u,v tq :
J’y avais aussi pensé mais je ne vois pas comment m’en servir ..

[GaBuZoMeu]

Quel est l'inverse de (la classe de) modulo ?

[OscarLacoste]

Si on a
donc l’inverse de n modulo p c’est ici..

[OscarLacoste]

ça donnerait
?

[GaBuZoMeu]

Je te laisse y réfléchir.

[OscarLacoste]

Très bien, je ne pense pas pouvoir aller plus loin que ça, j'espère que c'est suffisant.
Merci beaucoup pour vos indications

[OscarLacoste]

Pourrais-tu m'aider pour montrer que il y'a : ?

[GaBuZoMeu]

Que viens tu de démontrer ?
Ne vois-tu pas le rapport avec la détermination du quotient ? Quelles sont les classes modula ?

[OscarLacoste]

Non désolé je ne vois pas le rapport. J'ai démontré que pour tout a dans A on a un k entre 0 et p-1 tel que
Les classes modulos sont (si j'ai compris la définition sur wikipédia) : les éléments de A/pA donc si alors désigne la classe avec les éléments : non?

[GaBuZoMeu]

ou , c'est la même chose, mais je préfère la notation .

Deux éléments et de ont même classe dans le quotient si et seulement si .
Que viens-tu de démontrer ?

que pour tout élément dans , il existe entre 0 et tel que

[OscarLacoste]

Ah, alors j'ai démontré que et ont même classe dans le quotient

[GaBuZoMeu]

Bon, alors tu dois pouvoir conclure.

[OscarLacoste]

Oui je pense avoir compris, merci GaBuZoMeu!

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.