Probabilité et QCM

[galatic]

Bonjour,
Mes souvenirs sur les probabilités étant lointains, je ne sais poser le problème suivant correctement.
Soit un QCM de 13 questions avec 4 réponses possibles pour chaque question.
Pour chaque question, la réponse est effectuée au hasard (tirage au sort); je veux calculer :

• la probabilité P(3) d'avoir exactement 3 réponses exactes
• la probabilité P[3] d'avoir au moins 3 réponses exactes : est-ce la somme P[3] = P(3) + P(4) + .... + P(13)?

Merci pour vos réponses.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Commençons modestement :
Si on s'intéresse à une seule question, quelle est la probabilité de trouver au hasard la bonne réponse parmi les quatre proposées ?

[galatic]

Bonsoir,
Continuons modestement : pour une seule question la probabilité de réponse exacte P=0.25

[catamat]

Bonjour

Si on continue pour deux questions quelle est la proba d'avoir les deux justes ?

d'en avoir exactement une de juste ?

[Vassillia]

Bonjour,
Je dirai plutôt, maintenant qu'on connait la probabilité p=0,25 d'avoir la réponse exacte lors d'une expérience "répondre au hasard au QCM". Generalisons courageusement, sinon on ne va jamais y arriver.
Quelle loi de probabilités suit le nombre de bonnes réponses lors de la répétition de n=13 experiences indépendantes "répondre au hasard au QCM" ?

[galatic]

Bjr,
@catamat : en continuant step by step :

• 2 réponses exactes parmi 8 possibles P=0.25 x 0.25 = 0.0625
• 1 réponse exacte parmi 8 possibles P=0.125

@Vassillia : souvenirs trop éloignés pour savoir quelle loi s'applique dans ce cas (loi binomiale, loi de Poisson, loi de Fisher, loi normale -ce qui ne doit pas correspondre à cette dernière que j'ai appliquée sur des mesures en Physique-) au hasard puisque c'est le sujet, je dirais la loi binomiale.

Merci pour cette révision d'un domaine oublié.

[catamat]

Oui pour les deux réponses exactes (on suppose que les questions-réponses sont indépendantes les unes des autres donc on multiplie les deux probas)

Mais pour une exacte, il faut raisonner ainsi :
Soit la première est juste et l'autre fausse soit la première est fausse et l'autre juste.

Donc......

Si vous avez compris le truc passons à 4 questions et probabilité d'en avoir deux de juste exactement.

[galatic]

Mais pour une exacte, il faut raisonner ainsi :
Soit la première est juste et l'autre fausse soit la première est fausse et l'autre juste.

Donc......

Avant de passer à la suite, je veux m'assurer de l'exactitude de la réponse.

• QCM1 juste, QCM2 fausse p1 = 0.25 x 0.75 = 0.1875
• QCM1 fausse, QCM2 juste p2 = 0.75 x 0.25 = 0.1875

Donc probalité d'avoir 1 réponse exacte parmi 2 QCM P = p1 + p2 = 0.1875 x 2 = 0.375 qui est une proba supérieure à celle calculée précédemment (0.125).

Je vais essayer d'étendre la chose à :

Si vous avez compris le truc passons à 4 questions et probabilité d'en avoir deux de juste exactement.

çà se corse ...

[catamat]

Oui c'est juste.
On peut faire un arbre aussi mais quand n augmente cela devient vite ingérable.
Pour la question que je posais vous pouvez avoir la séquence suivante JJFF ou bien JFJF etc..

[galatic]

En continuant avec 4 QCM {Q1, Q2, Q3, Q4} et exactement 2 réponses vraies (V) et 2 réponses fausses (F), on a l'énumération des 6 cas possibles :

• {V, V, F, F}
• {V, F, V, F}
• {V, F, F, V}
• {F, V, V, F}
• {F, V, F, V}
• {F, F, V, V}

Ce qui donne la proba pour chaque cas p = 0.25 x 0.25 x 0.75 x 0.75 = 0.035

Dans le cas de 4 QCM, la proba d'avoir exactement 2 réponses justes : P = 6 x 0.035 = 0.21

[catamat]

Voilà parfait.

Le truc c'est juste de comprendre pourquoi il y a 6 cas, en fait il faut choisir la place des deux JJ parmi les 4 emplacements possibles.
Il yen a autant que de sous ensembles de 2 éléments dans un ensemble en comportant 4, vous devez connaître c'est le nombre de combinaisons de 2 éléments choisis parmi 4 soit (4*3)/2 donc 6 comme vous l'avez trouvé.

On peut généraliser bien sûr

Je pense que vous allez pouvoir répondre maintenant à votre question initiale.

Pour la deuxième question ("au moins trois justes") il est bien plus rapide de passer par l'événement contraire

p("au moins trois justes")=1 - p("au plus deux justes")