Dans le cadre d'un oral, je m'intéresse à la résolution de racines de polynôme de degrés supérieurs à 3.
Pour ça, je me suis pas mal renseignée, et le meilleur moyen reste de factoriser petit à petit avec des racines qu'on trouve au fur et à mesure.
On va prendre par exemple : x^4 + x^3 -11x^2 -5x +30 = 0
Pour trouver ces racines "évidentes", je me sers des diviseurs de la constante (ici la constante est 30, ses diviseurs +- (1;2;3;5;6;10;15;30)
Je teste les diviseurs par division synthétique et ça me permet de trouver des racines entières puis de factoriser. Donc le degré descend, on répète jusqu'à tomber sur un polynôme de degré deux et alors les 4 solutions apparaissent facilement.
Ma(Mes) question est la suivante :
Comment on fait si il n'y a pas de racines entières ? Ou alors si elles ne suivent pas les divisions synthétiques, si elles ne sont pas rationnelles ?
Est ce que si une solution de ce calibre admet uniquement deux solutions, cela signifie que les reste des solutions est complexe ? (Parce que j'ai lu que tout polynôme admet autant de racines que son degré)
Merci d'avance