A⇒B

[pierrelouisbourgeois]

Bonjour,

Pour que l'assertion A⇒B soit vraie, selon la table de vérité de l'implication, il suffit que l'on ait:
-A vraie et B vraie
ou
-A fausse et B vraie
ou
-A fausse et B fausse

Dans ce cas, on peut montrer que A⇒B est vraie simplement en supposant que A est fausse ; seulement à chaque fois on suit le raisonnement suivant : on suppose A vraie et on montre que B est vraie également. Pourtant ces deux raisonnements sont équivalents non?

(A moins qu'en réalité les 3 cas :
-A vraie et B vraie
ET
-A fausse et B vraie
ET
-A fausse et B fausse
soient nécessaires pour montrer A⇒B est vraie?)

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer? Merci.

[hdci]

Bonjour,

Dans ce cas, on peut montrer que A⇒B est vraie simplement en supposant que A est fausse.

Certainement pas ! On peut démontrer que A⇒B est vraie en démontrant que A est fausse (mais le truc c'est que dans A⇒B la proposition A n'est pas toujours fausse)
Car si vous ne faites que supposer que A est fausse, vous ne traitez pas le cas A est vraie.

Par contre : si on suppose que A est vraie, il est alors nécessaire de démontrer que B est vraie ; et si on suppose que A est fausse, B peut être vraie ou fausse cela n'importe pas puisque l'implication sera vraie.

C'est pour cela que dans les raisonnements souvent on "suppose que A est vraie" pour démontrer que "B est vraie" et cela couvre bien tous les cas.

Autre façon de voir : l'implication "A⇒B" est équivalente à "A est fausse, ou B est vraie". Donc : si A est effectivement fausse, il n'y a rien d'autre à faire. Sinon, il faut montrer que B est vraie.

Contre-exemple en l'occurrence : A:= "" et B:=""

Si vous supposez "A est fausse", vous aboutissez à la conclusion que B est fausse également (car si B était vraie, 2²=4 et A serait vraie or on a supposé qu'elle était fausse).
Pour autant l'implication est fausse : en effet, pensez vous que si x² est égal à 4, alors x est nécessairement égal à deux ? (quid de moins deux...)

Autre exemple où on démontre que A est fausse (mais on ne suppose pas qu'elle est fausse) : "pour tout réel x, si x²=-1 alors il pleut des diamants sur mars". Là je n'ai pas besoin d'aller voir ce qu'il se passe sur mars car A:="le carré du réel x est égal à moins un" est une proposition fausse, car par la règle de multiplication des signes le carré de tout réel est positif.

[pierrelouisbourgeois]

D'accord, merci beaucoup pour votre réponse détaillée.
Il y a quelque chose de contre-intuitif je trouve, au sens où l'implication logique n'exige pas de corrélation entre A et B.
Par exemple (5>3 ⇒ 4 est pair) est vraie alors que disons (2=2 ⇒ exp est décroissante sur IR) est fausse.
C'est bien cela?

[hdci]

Pour les deux exemples que vous donnez, c'est cela.

Le principe est : la conclusion dépend de l'hypothèse. Si l'hypothèse est fausse, la conclusion est quelconque, si l'hypothèse est vraie, la conclusion est forcément vraie ; au en "contraposée", si la conclusion est vraie l'hypothèse peut être quelconque, si la conclusion est fausse l'hypothèse est forcément fausse.

Exemple dans "le langage courant" "Je suis au pied de la Tour Eiffel, donc je suis à Paris" est une proposition vraie.
Si je suis effectivement au pied de la Tour Eiffel, je suis effectivement à Paris ; alors que si je n'y suis pas, je peux être au Louvre à Paris, ou chez moi loin de Paris.

Autre exemple : si quelqu'un vous dit demain "ça y est, j'embarque pour Mars la semaine prochaine", vous lui répondrez "c'est ça, et moi je suis le pape". Traduit en implication, cela revient à dire "si tu embarques pour Mars la semaine prochaine, alors je suis le pape", c'est bien une phrase logiquement vraie mais qui se comprend, par tous, que "j'embarque pour mars la semaine prochaine" est évidemment un gros mensonge.

[Mateo_13]

Bonjour,

sans répondre à la question posée,
je vous donne un exemple intéressant (trouvé dans un livre d'Hervé Lehning) qui explique pourquoi :

"A implique B" est équivalant à "(Non A) ou B" :

un voleur encerclé par des gendarmes leur crie :
"Si vous avancez, je tire", ce qui est équivalent à "N'avancez pas, ou je tire".

Cordialement,

[LuisFigo]

Il y a quelque chose de contre-intuitif je trouve, au sens où l'implication logique n'exige pas de corrélation entre A et B.

Tu as tout compris ! D'où le nom d'implication matérielle qu'on lui donne, mais il existe des implications qui tentent de rétablir cette corrélation comme l'implication stricte.

Autre exemple où on démontre que A est fausse (mais on ne suppose pas qu'elle est fausse) : "pour tout réel x, si x²=-1 alors il pleut des diamants sur mars". Là je n'ai pas besoin d'aller voir ce qu'il se passe sur mars car A:="le carré du réel x est égal à moins un" est une proposition fausse.

Et voilà ça dérape !
L'implication matérielle est une implication de la logique mathématique, cet exemple sort du cadre mathématique, on ne peut donc pas lui appliquer les règles de l'implication matérielle.
Cette phrase n'a tout simplement pas de sens !

je vous donne un exemple intéressant (trouvé dans un livre d'Hervé Lehning) qui explique pourquoi :

"A implique B" est équivalant à "(Non A) ou B" :

un voleur encerclé par des gendarmes leur crie :
"Si vous avancez, je tire", ce qui est équivalent à "N'avancez pas, ou je tire".

Et voilà ça redérape, "Si vous avancez, je tire", ce qui est équivalent à "N'avancez pas, ou je tire" sors du cadre mathématique.

"A implique B" est équivalant à "(Non A) ou B" car leur table de vérité est identique.

Cordialement.

[chombier]

Bonjour,

sans répondre à la question posée,
je vous donne un exemple intéressant (trouvé dans un livre d'Hervé Lehning) qui explique pourquoi :

"A implique B" est équivalant à "(Non A) ou B" :

un voleur encerclé par des gendarmes leur crie :
"Si vous avancez, je tire", ce qui est équivalent à "N'avancez pas, ou je tire".

Cordialement,

Très bon exemple.

@LuisFigo : la logique n'est pas restreinte au champs mathématique. Prenez l'exemple de Sherlock Holmes qui l'applique avec brio au monde bien réel dans chacune de ses enquêtes.

[LuisFigo]

La logique naturelle et intuitive non, l'implication matérielle oui !

[Vassillia]

Bonjour, pour éviter à certains de perdre du temps inutilement, je signale que notre ami LuisFigo a déjà fait un post sur la logique superieur/vrai-faux-logique-t231723.html
Cela ne s'est pas très bien passé et il a fini par insulter tout le monde ici et sur d'autres forums avant d'effacer ses messages lorsque c'est possible.

[LuisFigo]

C'est pas possible, t'es amoureuse de moi pour me coller autant !

Edit :
Je discute tranquillement, et toi tu viens direct en mode agression.

En plus tu ments, je n'ai insulté personne toutes les personnes qui ont participé sont témoins (après c'est clair que je n'ai pas cherché à te faire des compliments).

[chombier]

Il est vigilant et il a raison.

Le but de ce forum c'est d'aider les gens. Si on te laisse raconter n'importe quoi autant fermer le forum.

C'est déjà très préoccupant (pour le forum) qu'on te laisse encore écrire ici.

[hdci]

Autre exemple où on démontre que A est fausse (mais on ne suppose pas qu'elle est fausse) : "pour tout réel x, si x²=-1 alors il pleut des diamants sur mars". Là je n'ai pas besoin d'aller voir ce qu'il se passe sur mars car A:="le carré du réel x est égal à moins un" est une proposition fausse.

Et voilà ça dérape !
L'implication matérielle est une implication de la logique mathématique, cet exemple sort du cadre mathématique, on ne peut donc pas lui appliquer les règles de l'implication matérielle.
Cette phrase n'a tout simplement pas de sens !

Deux points :

• syntaxiquement en français, ma phrase est bien construite : sujet, verbe, complément, subordonnée conditionnelle... ;
• sémantiquement ma phrase est bien construite à nouveau, c'est une phrase que n'importe qui pourrait dire pour exprimer qu'un réel au carré ne peut être négatif ; sous une forme un peu différente cela arrive à plusieurs personnes de dire la figure de style "c'est ça et moi je suis le pape" pour exprimer un désaccord, donc pour exprimer que ce que l'autre a dit est manifestement faux.

Donc dire qu'elle n'a pas de sens, c'est un contresens.
Conclusion :

• soit on considère que la logique est un truc hyper abstrait réservé aux seuls initiés qui utilisent un langage d'expert compris d'eux seuls et hermétique au reste du monde (ce qui est souvent le cas de ceux qui se présentent comme expert pour masquer leur ignorance), et cela donne raison à M. Luc Ferry quand il disait que "les mathématiques ça ne sert à rien",
• soit on fait l'effort de faire le lien entre les mathématiques et "la vraie vie" pour expliquer les résultats (ici des résultats de logique), ce que j'essaye de faire en l'occurrence ici.

je n'ai insulté personne toutes les personnes qui ont participé sont témoins

Ben là je ne suis pas d'accord : avec ta mention "Et voilà ça dérape !" souligné avec le point d'exclamation, tu viens tout simplement de dire que j'étais stupide, sans dire plus grossier. Donc tu viens de m'insulter, de même que tu as insulté Mateo_13 dans la phrase juste après.

Dernier point : je ne poursuivrai pas la polémique plus longtemps ici, c'est totalement inutile.

[LuisFigo]

(Pour la suite je précise que l'implication en logique mathématique est appelée "l'implication matérielle" et que l'implication tout court réfère au verbe impliquer au sens intuitif, naturel, du langage courant.)

Et voilà, c'est bien ce que je disais, tu mélanges tout (je te le prouve dans un instant), donc quand on a oublié le sens réel ou commun, il faut éviter d'utiliser les maths en dehors des maths, c'est tout ce que je dis.

Bon je suis obligé de réexpliquer les fondamentaux de la langue, les choses naturelles et intuitives.

Quand on dit (c'est qu'un exemple) "Si tu es footballer professionnel alors je suis la reine d'Angleterre", comme je ne suis pas la reine d'Angleterre, c'est empiriquement faux, on veut montrer ainsi que l'hypothèse n'est pas vraie.
Mais ça n'a rien à voir avec les maths.
L'implication naturelle (si alors) dit déjà que si l'hypothèse vraie alors la conclusion aussi, donc si la conclusion n'est pas vraie alors l'hypothèse ne peut pas être vraie.

Quand tu dis "pour tout réel x, si x²=-1 alors il pleut des diamants sur mars", tu rajoutes "Là je n'ai pas besoin d'aller voir ce qu'il se passe sur mars" donc t'es pas du tout dans ce cas là.
T'es en train de dire que comme l'hypothèse est fausse, alors l'implication est vraie et qu'alors peu-importe la conclusion (d'où ton rajout "Là je n'ai pas besoin d'aller voir ce qu'il se passe sur mars"), donc tu utilises l'implication matérielle.
Donc soit tu mens, soit tu ne comprend pas ce que tu dis.
Comme je ne suis pas insultant, je dis alors que tu ne comprends pas ce que tu dis (ce qui n'est pas une insulte je précise).

Deuxième point, quand j'écris "Et voilà ça dérape !" ce n'est pas une insulte, et jamais je n'aurai pensé que si peu puisse te paraître une insulte (comme précédemment je ne dirai pas non plus que tu mens), donc je ne m'excuserai pas, par contre je ne voulais pas t'offenser que les choses soient claires.

Maintenant si tu veux utiliser l'implication matérielle, comme si elle n'était pas que mathématique, et qu'elle était vraie et établie dans le langage courant et intuitivement, libre à toi.

Cordialement.

[tulipe]

Qu'est ce tu veux, y en aura toujours qui te diront "1=2 => la tour Eiffel est en Australie " est vrai alors que ça n'a aucun sens.
Et d'autres qui te diront que pour monsieur X qui est vert et est un terroriste qu'alors "Monsieur X est vert => Monsieur X est un terroriste" est vrai.
De manière générale, ils mettront n'importe quoi avant et après le symbole => , et te diront "c'est vrai" "c'est faux" au lieu de dire que ça n'a pas de sens.

Tout simplement car ils mélangent les maths et la vraie vie !

[chombier]

Une implication sans connecteur existenciel ça ne sert absolument à rien en même temps.
Si je te dis tu vas être d'accord.

Si j'instancie avec x=5, ça donne , ce qui est équivalent à .

Si j'instancie avec x=0, ça donne , ce qui est équivalent à .

Si tu as admis la propriété de départ, tu es bien obligé d'en admettre les conséquences. En particulier, que .

Parfois en mathématiques tout ne coule pas de source. Pourquoi est-ce que 3^0 = 1 alors que tous les élèves ont spontanément envie de dire que c'est égal à 0 ?

Parfois le français ne se marie pas bien avec les mathématiques. C'est sur que dire "la terre est carrée donc la tour eiffel est en espagne" est vrai, c'est un très mauvais exemple d'implication. C'est vrai au sens logique du terme, la table de vérité te dit que c'est vrai, mais dans le langage courant ce n'est ni vrai, ni faux. A partir du moment où il n'y a pas de quantificateur une implication est un objet mathématique totalement inutile.

Reste l'exemple du "si vous êtes Elvis alors je suis la reine d'Angleterre" qui est une phrase vraie car vous n'êtes pas Elvis. La contraposée est "Si je ne suis pas la reine d'Angleterre alors vous n'êtes pas Elvis". Je ne suis pas la reine d'Angleterre, vous n'êtes pas Elvis, cette phrase est donc vraie. Elle est équivalente à sa contraposée, donc la phrase de départ "si vous êtes Elvis alors je suis la reine d'Angleterre" est vraie.

Dans le genre absurde il y a un exemple que j'aime beaucoup : la phrase est simple : "Si tu as faim, il y a de la viande dans le frigo". Elle a l'air d'avoir un sens. Quelle est sa contraposée ? "Si il n'y a pas de viande dans le frigo alors tu n'as pas faim". Patatras.

[tulipe]

Je suis tout à fait d'accord avec toi sur la partie mathématique (même si on peut se poser la question de l'utilité quand l'hypothèse est fausse).

Par contre : "si vous êtes Elvis alors je suis la reine d'Angleterre" qui est une phrase vraie, là c'est abusif.
Car on n'est plus dans les maths alors soit on considère que c'est un effet de style (on laisse supposer que cette implication est vraie sans preuve pour dire que la personne n'est pas Elvis), soit on le considère comme un vrai raisonnement et on te demandera de justifier/prouver que c'est vrai, s'il est impossible de le prouver on dira alors qu'il n'y a pas de lien entre les deux et que ça n'a pas de sens ou que c'est faux ! (dans le sens où l'un n'impliquant pas l'autre, l'implication est fausse)
La contraposée étant équivalente, la situation est analogue pour celle-ci.

"Si tu as faim, il y a de la viande dans le frigo" celle-ci n'est pas interprétée comme une implication, si elle l'est elle n'a pas de sens ou elle est fausse sans même analyser la contraposée.

La grosse différence c'est qu'en langage courant, il y a une causalité à laquelle on ne peut pas échapper, si on met deux choses qui ne sont pas liées et qu'on les relie avec un "si ..alors .." alors cela n'a aucun sens ou c'est faux (l'un n'implique pas l'autre), alors qu'en maths ce n'est pas le cas, on peut tout mettre en relation même si ça n'a pas de sens et c'est vrai ou faux, parfois sans même une démonstration, l'option "ça n'a pas de sens" n'existe pas. (D'où le nom d'implication "matérielle" pour ne pas dire superficielle).

Le cas où l'hypothèse est fausse, que la conclusion soit vraie ou non ça n'entraîne pas de contradiction, donc en maths on peut dire que c'est vrai et ça fonctionne bien, mais ça n'est pas prouvé, ça ne veut pas dire que c'est vraiment vrai si je puis dire.
On pourrait même envisager de dire qui si on ne peut pas fournir de démonstration alors c'est faux ou indécidable (si on veut rajouter un lien de causalité en mathématiques).

La situation est la suivante pour le "Si ... alors ...." avec une hypothèse fausse:
dans le langage naturel, quand l'hypothèse est fausse il n'y a plus de conclusion à prouver, donc dire vrai ou faux n'a pas de sens.
en maths, quand l'hypothèse est fausse on affirme que l'implication est vrai (par axiome ou définition comme on veut) mais comme dans le cas naturel il n'y a toujours rien à prouver.

[tulipe]

Bon après, tout ça est un peu dérisoire, une implication quand l'hypothèse est fausse je ne vois pas vraiment l'intérêt en maths comme dans le langage courant, ça ne doit pas servir beaucoup.

Si tu sors à un prof de fac que t'as démontré 2>3 => 8>9, ou qu'après avoir démontré Bolzano-Weierstrass tu lui sors que 1=2 => B-W est vrai, il va sûrement te demander si tu te sens bien.
D'ailleurs c'est pour ça qu'on peut parfaitement faire des maths rigoureusement sans avoir de formation en logique, les raisonnements intuitifs suffisent (et sont les seuls qu'on utilise vraiment je pense).

La vérité est que dire qu'une implication est vraie avec une hypothèse fausse, relève surtout d'un choix, comme de dire que 1 n'est pas premier, ou que 2^0=1, on fait le choix en fonction des besoins et que ça soit cohérent.
On aurait pu faire un autre choix (ce qui développerait une autre logique) comme par exemple "il n'y a pas de valeur de vérité" de même que pour 1/0 la plupart du temps on dit que ça n'existe pas ( je prends un exemple à la va-vite).

Le plus important est d'avoir la bonne interprétation de l'implication dans le langage courant (et ça une partie des mathématiciens l'ont perdu ce qui est un peu problématique), car si tu commences à dire autour de toi que "Si une baleine est rose alors la tour Eiffel est à Londres" est vrai, les gens vont se poser des questions sur toi, voire pire.

[tulipe]

Bon voilà je m'arrête là, je pense en avoir assez écrit sur le sujet, je quitte les forums de maths (et bien sûr tulipe et LuisFigo sont peut-être la même personne) car c'est très prenant (mais parfois très distrayant aussi). Bye !