Devoir sur les inégalités : ex n° 46

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PaulDurand
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Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par PaulDurand » 15 Avr 2021, 17:57

Bonjour à tous,

J'ai l'exercice ci-dessous à faire à la maison :
X désigne un nombre réel tel que

a) Justifier que

b) Peut-on conclure que

J'aurais besoin qu'on me dise si mon raisonnement et mes calculs ci-dessous sont justes.

On sait que et donc est positif.

Concernant la question du a) j'ai fait :

On sait que les dénominateurs ne peuvent pas être = 0, soit et . Il faudra vérifier cela plus tard.

Ensuite j'essaie de résoudre l'équation ci-dessous :



Je met ensuite tous mes termes sous le même dénominateur :


Je peux maintenant enlever tous les dénominateurs, il reste donc l'équation à résoudre ci-dessous :


Est-ce que mon raisonnement est juste jusqu'à présent ?

Merci pour vos réponses et votre aide.

Paul



hdci
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par hdci » 15 Avr 2021, 18:22

Bonjour,

PaulDurand a écrit:On sait que les dénominateurs ne peuvent pas être = 0, soit et . Il faudra vérifier cela plus tard.

En fait non, il faut vérifier cela tout de suite. Pour une bonne raison : c'est que "plus tard", c'est souvent "oublié", d'une part, et d'autre part cela permet d'éviter d'écrire des choses tordues ou foncièrement fausse

(Exemple : on a, et au cours d'un développement je tombe sur et j'en déduis que A=1 dans tous les cas. Sauf que : j'ai "oublié" de traiter le cas car il a disparu au hasard de mes calculs...)

L'énoncé vous donne très précisément la réponse à la question "x est-il différent de 1", vérifiez-le.

PaulDurand a écrit:Ensuite j'essaie de résoudre l'équation ci-dessous :


Non, ce n'est pas une équation. Une équation, c'est quand on cherche la valeur d'une inconnue au travers d'une égalité, là n'est pas l'inconnue mais simplement une variable. Vous ne pouvez donc pas dire "j'essaie de résoudre l'équation".
La bonne façon de faire, en général, quand on a "montrer que pour tout x, A(x)=B(x)", c'est de partir de A(x), de faire un calcul pour trouver A(x)=C(x) puis C(x)=D(x) puis (etc.) puis arriver à "= B(x)" à la fin. Ou de partir de B(x), d'écrire une succession d'égalités, pour arriver à A(x).
Ou alors c'est de dire "montrons que pour tout x A(x)-B(x)=0", donc on part de A(x)-B(x) et on calcule.

Exemple : "montrer que pour tout x réel : .
En utilisant la première méthode on écrit

"Développons le membre de gauche : pour tout x réel, on trouve bien le résultat attendu"
Ou bien avec la seconde méthode
"Calculons pour tout x réel : ce qui montre que "


Ensuite,
PaulDurand a écrit:
Je met ensuite tous mes termes sous le même dénominateur :


Vous faites bien trop compliqué (est-ce cela qui provoque une erreur ?). Deux choses :
  • Vous ne voyez pas que : changez donc le signe d'une des deux fractions vous aurez directement le "même dénominateur" pour ces deux fractions.
  • Vous mettez 1 au même dénominateur, puis x au même dénominateur. Pourquoi ne mettez-vous pas directement (1+x) au même dénominateur ? D'autant qu'avec la remarque précédente, vous faites apparaître une identité remarquable au numérateur ce qui simplifie grandement les calculs.
Enfin, l'erreur porte sur la troisième fraction puisque vous aviez déjà (1-x) au dénominateur.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

PaulDurand
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par PaulDurand » 15 Avr 2021, 19:20

Merci pour votre réponse.

Eh ben j'ai encore du boulot :(

hdci a écrit:L'énoncé vous donne très précisément la réponse à la question "x est-il différent de 1", vérifiez-le.

Oui est différent de 1 puisque dans le est strictement inférieur à 1.

hdci a écrit:Ou alors c'est de dire "montrons que pour tout x A(x)-B(x)=0", donc on part de A(x)-B(x) et on calcule.

Dans l'exemple de l'énoncé, ça revient donc à résoudre , non ?

Quand on parle de est-ce que le devant correspond à ou si = ? En d'autres termes, est-ce que le englobe toute la partie à gauche du égal ou pas ?

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Sa Majesté
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par Sa Majesté » 15 Avr 2021, 19:41

PaulDurand a écrit:
hdci a écrit:Ou alors c'est de dire "montrons que pour tout x A(x)-B(x)=0", donc on part de A(x)-B(x) et on calcule.

Dans l'exemple de l'énoncé, ça revient donc à résoudre , non ?

Non.
Résoudre l'équation A(x)=B(x) c'est trouver les valeurs de x pour lesquelles A(x)=B(x).
Exemple : résoudre x²=2x dans IR donne x=0 et x=2.
Il n'y a que pour ces 2 valeurs de x que x²=2x.

Là on te demande de montrer que A(x)=B(x) pour tout x réel.
Tu peux partir de et transformer cette expression en réduisant au même dénominateur.

hdci
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par hdci » 15 Avr 2021, 19:56

Pour compléter Sa Majesté : c'est une question sémantique, donc de français, et pas de mathématiques.

"Résoudre l'équation A(x)=0", c'est répondre à la question "pour quelles valeurs de x a-t-on l'égalité A(x)=0".

"Montrer que pour tout x, A(x)=0", ce n'est pas une question...
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PaulDurand
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par PaulDurand » 15 Avr 2021, 21:59

Merci pour vos réponses.

Autant je vois ce qu'il faut faire pour résoudre une équation mais je ne vois pas ce qu'il faut faire pour "Montrer que pour tout x, A(x)=0" : je ne sais comment formuler cela par écrit et je ne sais par ou commencer pour (dé)montrer cela :?

hdci
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par hdci » 15 Avr 2021, 22:10

Reprenez mon exemple, qui donne la "rédaction type" :
hdci a écrit:Exemple : "montrer que pour tout x réel : .
En utilisant la première méthode on écrit

"Développons le membre de gauche : pour tout x réel, on trouve bien le résultat attendu"
Ou bien avec la seconde méthode
"Calculons pour tout x réel : ce qui montre que "


Je ne cherche pas à résoudre une équation, mais je cherche à manipuler l'une des expressions pour arriver à l'autre expression.
Je passe de (x-2)²-1 à x²-4x+4-1 en utilisant l'identité remarquable, puis je calcule 4-3, finalement j'arrive à x²-4x+3 et lçà je "constate" que c'est bien ce que je voulais trouvé. Conclusion : j'ai démontré que pour tout x, (x-2)²-1 est bien égal à x²-4x+3.

Dans la seconde méthode, je procède "presque" de la même façon, mais je calcule en fait (x²-4x+3)-((x-2)²-1), je développe l'identité remarquable, je simplifie ce qu'il y a à simplifier (sans faire d'erreur de signes), et j'aboutis à zéro. J'ai donc démontré que pour tout x, x²-4x+3-((x-2)²-1) est bien égal à zéro,
C'et-à-dire pour raccourcir l'écriture, j'ai démontré que A(x)-B(x)=0 ce qui montre que A(x)=B(x), ceci pour tout x (et pas pour certains x en particulier).

Dans votre c'est, c'est pareil :
  • soit vous partez de et vous manipulez (c'est-à-dire, vous calculez avec les méthodes habituelles : mise au même dénominateur, simplifications etc.), pour arriver finalement à
  • soit vous partez de et vous maniulez (calculez, simplifiez...) pour arriver à 0.

Les calculs ne sont pas plus ni moins compliqué dans un cas que dans l'autre (sauf si vous ne voyez pas que le dénominateur 1-x est égal à -(x-1)).

Les calculs à réaliser sont pratiquement les mêmes que ceux que vous faisiez (aux erreurs près), mais c'est surtout la façon de le présenter. Si je vous demande de démontrer que la Tour Eiffel est à Paris, vous ne pouvez pas commencer par dire "Puisque la Tour Eiffel est à Paris"... Donc vous ne pouvez pas partir de la conclusion pour démontrer la conclusion.
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par PaulDurand » 16 Avr 2021, 10:46

Encore merci pour vos explications (qui m'aident beaucoup).

Donc si je vous ai bien compris, je pars de et je cherche à trouver .

Donc :


















Donc on vient de démontrer que A(x)=B(x) soit =

Est-ce correct ?

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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par Sa Majesté » 16 Avr 2021, 12:44

Il faut mettre des signes = sinon ça ne veut rien dire



Après, ce que tu as écrit n'est pas correct.
Il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par -1.

PaulDurand
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par PaulDurand » 16 Avr 2021, 13:20

Comme cela ?

hdci
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par hdci » 16 Avr 2021, 14:29

Oui, c'est cela.
Mais en plus rapide :


Comme je vous l'ai déjà indiqué, ne traitez pas le "1+x" du départ séparément, car avec (1+x)(1-x) vous reconnaissez une identité remarquable qui vous permet sans calcul de dire que c'est 1-x².
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par PaulDurand » 16 Avr 2021, 15:38

Merci, je comprends mieux maintenant.

Comment arrivez-vous à simplifier si rapidement de ? Il n'est pas nécessaire de montrer tout le chemin de simplification pour arriver à ?

Est-ce que cette simplification est juste : ?

hdci
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par hdci » 16 Avr 2021, 16:30

Oui c'est juste, mais c'est aussi "juste un peu long". Il y a un moment où on ne fait plus ce genre de détail car "c'est évident", mais évidemment tant que vous n'êtes pas à l'aise avec ces manipulations c'est bien de détailler.

Avec de l'entraînement, vous verrez que vous ferez ces simplifications "mentalement" sans avoir besoin de les écrire.

On peut également dire plus généralement que

donc on change le signe du numérateur et du dénominateur en même temps sans changer la valeur de la fraction.

Une autre façon de le voir est de dire que


Et en fonction du contexte on "choisit" la bonne écriture (il n'y a pas de "bonne écriture" dans l'absolu, mais en fonction du contexte ou bien des calculs à venir ou bien de ce qu'on veut mettre en évidence...)
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Vassillia

Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par Vassillia » 16 Avr 2021, 16:43

Bonjour,
PaulDurand a écrit:

Ce passage là est faux et je me permets de le signaler comme tu avais déjà fait l'erreur précédemment, on doit écrire , il faut multiplier en haut et en bas par -1 ce qui revient à multiplier par 1. Mettre le -1 devant comme tu le fais n'a pas vraiment de sens même si je vois bien que pour toi cela donne le bon calcul

hdci
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par hdci » 16 Avr 2021, 17:55

Oups, je l'avais pas vu celle là ! J'ai lu trop rapidement en diagonale...
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

PaulDurand
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par PaulDurand » 16 Avr 2021, 18:06

Merci pour vos réponses.

Et est-ce qu'on peut dire que ?

Alors maintenant qu'on a pu justifier que il y a le b) :

b) Peut-on conclure que ?

Alors on a une inégalité qui est sous la forme et on nous demande de voir si la partie de gauche de l'inégalité est inférieure ou égale à celle de droite.

J'essaie de remplacer quelques valeur par x afin de voir ce que cela donnerai comme résultat.

Si je remplace par 1 dans l'inégalité j'obtiens ce n'est pas possible car un dénominateur ne peut pas avoir une valeur égale à 0.

Si je remplace par -1 dans l'inégalité j'obtiens non 0 n'est pas inférieur ou égal à 0,5.

Si je remplace par 0 dans l'inégalité j'obtiens oui 1 est inférieur ou égal à 1.

Je peux donc conclure que si alors .

Est-ce correct comme raisonnement et conclusion ?

Vassillia

Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par Vassillia » 16 Avr 2021, 18:37

PaulDurand a écrit:Et est-ce qu'on peut dire que ?

Non (à part dans le cas particulier ), les seules égalités vraies sont celles données par hdci précédemment, je t'invite à relire sa réponse.

PaulDurand a écrit:Si je remplace par 1
Si je remplace par -1[/tex].

D'après l'énoncé donc ces valeurs sont interdites de toute façon, il est inutile de les regarder.

PaulDurand a écrit:Je peux donc conclure que si alors .
Est-ce correct comme raisonnement et conclusion ?

C'est correct mais insuffisant car tu dois conclure pour n'importe quelle valeur autorisée de . On ne va pas pouvoir les regarder une par une (il y a en a une infinité donc tu vas y passer toutes tes vacances sans succès, ce serait dommage).
Je te suggère de te servir de l'égalité précédente en étudiant le signe de

PaulDurand
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par PaulDurand » 16 Avr 2021, 19:41

Vassillia a écrit:Je te suggère de te servir de l'égalité précédente en étudiant le signe de

Vous parlez de cette égalité ? Comment j'étudie le signe de

Je pense avoir la solution : on peut conclure que si et alors , est-ce correct ?

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Sa Majesté
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par Sa Majesté » 16 Avr 2021, 22:56

PaulDurand a écrit:Comme cela ?

Oui (avec le chemin plus court proposé par hdci).
En revanche il ne faut oublier d'écrire : pour tout avant les égalités.

PaulDurand a écrit:Je pense avoir la solution : on peut conclure que si et alors , est-ce correct ?

Tu ne prouves strictement rien.
Il faut étudier le signe de pour tout .
Et comme , cela revient à étudier le signe de pour .

PaulDurand
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Re: Devoir sur les inégalités : ex n° 46

par PaulDurand » 17 Avr 2021, 12:57

Mon cours s'arrête au signe d'un produit, signe d'un quotient et il dit :
Règle des signes:
Soit a et b deux réels différents de 0.
- si a et b ont le même signe, alors a x b et sont positifs.
- si a et b sont de signes contraires, alors a x b et sont négatifs.

Donc pour étudier le signe de cette expression j'étudie le signe du numérateur et du dénominateur pour tous réels différents de 0, soit :

1) puisque qu'un carré est toujours positif.

2) Concernant : si alors et si alors

Le numérateur est donc positif mais le dénominateur peut-être positif ou négatif. Partant de ce constat, comment savoir quel est le signe de l'expression ? Je pige pas :(

 

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