Racine carrée d'une expression
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abc
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par abc » 12 Avr 2021, 19:20
Est-ce qu'il y a une façon de démontrer que l'expression suivante n'est pas un carré parfait si k est un entier plus grand que 0 ?
1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3
Merci pour l'aide!
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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 13 Avr 2021, 20:32
Piste : par l'absurde
Si 1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3 = a²
Alors (a-1)(a+1) = 24k (1+6k+12k²)
a est nécessairement impair : a=2p+1
p(p+1) = 6k (1+6k+12k²)
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abc
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par abc » 14 Avr 2021, 00:14
Merci pour cette idée intéressante au premier abord. Malheureusement ça mène nulle part.
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lyceen95
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par lyceen95 » 14 Avr 2021, 08:32
a est nécessairement impair , et (a-1) ou (a+1) est multiple de 3.
Donc a est de la forme 6p+1 ou 6p-1.
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abc
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par abc » 14 Avr 2021, 20:26
D'accord, mais est-ce que cela peut m'aider pour démontrer que 1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3 n'est pas un carré?
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abc
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par abc » 17 Avr 2021, 16:56
Pour démontrer que 1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3 ne peut être un carré, on pourrait procéder par élimination. Compte tenu que le chiffre unitaire est cyclique, il revient chaque fois que k augmente de 5, on peut éliminer tous les résultats qui se terminent par 3 ou 7 puisqu'un carré se termine jamais par 3 ou 7. Toutefois il reste encore tous les résultats se terminant par 1, 5 ou 9 qui pourraient être des carrés. Comment les éliminer?
k...........................1 + 24*k + 144*k^2 + 288*k^3
1...................................457
2................................2929
3................................9145
4.............................20833
5.............................39721
6.............................67537
7..........................106009
8..........................156865
9..........................221833
10.......................302641
11.......................401017
12.......................518689
13.......................657385
14.......................818833
15....................1004761
16....................1216897
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