Diviseurs puissance de 2

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
charlescol
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diviseurs puissance de 2

par charlescol » 04 Avr 2021, 17:42

Bonjour,
je n'arrive pas à démontrer rigoureusement cet énoncé :


Ce que je voulais faire :
- Poser une suite
- Montrer que cette suite et strictement croissante,
-
- (montrer que pour k=0 et 1 l'énoncé du haut fonctionne )

L'étape suivante me fait un peu bloquer, j'aimerais montrer qu'une puissance de deux n'est divisible que par un puissance de deux inférieure ou égale à elle même .
Est ce que quelqu'un saurait comment le montrer ?

Merci d'avance

Charles



Black Jack

Re: diviseurs puissance de 2

par Black Jack » 04 Avr 2021, 17:59

Une façon parmi d'autre

2^k/(2^k - 3) = (2^k - 3 + 3)/(2k - 3) = 1 + 3/(2k-3)

... ne sera pas dans N si 2k-3 > 3, donc si k > 3

Reste à vérifier pour k = 0 et k = 1 et pour k = 2 et pour k = 3 pour pouvoir conclure.

8-)

hdci
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Re: diviseurs puissance de 2

par hdci » 04 Avr 2021, 18:03

Bonjour,

Beaucoup plus simple qu'avec les suites : si k=0 ou k=1, le dénominateur est négatif mais pas le numérateur et c'est réglé.
Sinon, avec k>2, le dénominateur est strictement plus grand que 2 et est impair.
Si la fraction était entière, alors 2^k serait égal à ce nombre impair multiplié par un entier.
Ainsi le nombre impair diviserait 2^k, par conséquent il serait pair ou égal à 1 puisque les seuls diviseurs de 2^k sont des 2^q avec q<=k
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

charlescol
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Re: diviseurs puissance de 2

par charlescol » 04 Avr 2021, 18:12

Merci pour vos réponses rapides, elles sont beaucoup plus simples que la mienne.

Black Jack

Re: diviseurs puissance de 2

par Black Jack » 04 Avr 2021, 18:14

Message raté, je recommence :

2^k/(2^k - 3) = (2^k - 3 + 3)/(2k - 3) = 1 + 3/(2^k-3)

... ne sera pas dans N si 2^k - 3 > 3, donc si 2^k > 6, donc si k >= 3

Reste à vérifier pour k = 0 et k = 1 et pour k = 2 pour pouvoir conclure.

8-)

charlescol
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Re: diviseurs puissance de 2

par charlescol » 04 Avr 2021, 18:42

Merci Black Jack, j'avais bien compris ta réponse de toute façon.

Je voulais utiliser ta méthode, cette fois, pour montrer que quels que soient a et b différent du couple (2,2), n'est pas un entier naturel:


Mais je crains qu'il ne soit pas suffisant de montrer que ne divise pas et 9. Les deux fractions pourraient très bien se compenser pour former un entier.
Est ce que vous auriez une idée aussi simple que précédemment pour ce problème svp ?

En vous remerciant d'avance

Charles

Rdvn
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Re: diviseurs puissance de 2

par Rdvn » 04 Avr 2021, 21:17

Bonsoir

Désignons par N le rationnel que vous considérez (à démontrer : il n'est pas entier)
Pour a>ou=3 et b>ou=3, vous pouvez démontrer sans trop de difficulté :
1<N<2

Il restera quelques cas à étudier
Bon courage

charlescol
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Re: diviseurs puissance de 2

par charlescol » 09 Avr 2021, 18:46

Bonjour merci pour les réponses cela m'a bien aidé.

J'essayais, pour terminer, de montrer une dernière conjecture qui me permettrait de généraliser les résultats précédents. Pour le coup cela fait depuis ce matin que je reste bloqué, je n'y arrive pas du tout.

Conjecture :
Soient et
Alors

(on peut éventuellement supposer pair si nécessaire)

Je vous remercie d'avance

charlescol
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Re: diviseurs puissance de 2

par charlescol » 11 Avr 2021, 22:37

ma conjecture était fausse, pas évident de montrer quelque chose de faux.

un exemple parmi d'autres :
x = 146, a =5,b=1,c=1

 

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