Compacité de l'image d'une suite

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

Soit E un ev normé de dim quelconque
Soit u une suite de E et soit l dans E tel que u converge vers l.
La réunion de l'image de u et {l} est-elle compacte? Si oui, pourquoi?

[hdci]

Bonjour,

L'argument que je vous ai donné sur "exemple d'une sous-suite extraite convergente" dans ce post
https://www.maths-forum.com/superieur/compacts-t230859.html
devrait vous inspirer pour répondre à la question.

Les termes de toute suite de sont soit I soit l'un des u(n). si I est valeur d'adhérence de la suite vous avez le résultat. Sinon, le fait que u converge vers I doit vous orienter vers l'ensemble des valeurs prises par u... donc vers la possibilité d'extraire une sous-suite convergente.

[Guigui1Pierre]

même si E est de dim quelconque?

[hdci]

Faites le raisonnement que j'indique.
Puis posez-vous la question : "ai-je utilisé le critère de dimension ?"

La définition d'un compact ne fait pas appel à la dimension : un compact est un ensemble tel que de tout recouvrement d'ouverts on peut extraire un recouvrement fini. Puis dans un espace métrique, on caractérise un compact par le fait que de toute suite on peut extraire une suite convergeant dans l'ensemble.

Le critère de dimension n'apparaît que dans les espaces vectoriels normés qui sont des cas particuliers d'espaces métriques ; et alors dans un evn de dimension finie les compacts sont les fermés bornés, mais ce n'est plus vrai en dimension infinie. Mais ce n'est qu'une propriété dans les evn.

[Guigui1Pierre]

je n'ai pas encore vu les recouvrements (je connais juste la déf de "compact" en utilisant les suites extraites).

J'ai bien compris votre démo de " {1/n ; n dans IN}U{0} est compact " .
Mais je n'arrive pas à la transposer pour montrer que u(IN)U{l} est compact.

[Guigui1Pierre]

D'accord, j'ai compris.
Si l n'est pas une valeur d'adhérence, on peut extraire une suite d'éléments d'une partie finie de u(IN)U{l}. On extrait alors de cette suite une suite constante à partir d'un certain rang, donc convergente dans u(IN).

[hdci]

C'est bien cela.