Bonsoir,
cela revient à chercher le nombre de façons de répartir 105 objets identiques dans 5 boites numérotées, sans qu'aucune boite ne soit vide ou dépasse 56 objets.
On peut le calculer "à la main" sous forme de sommes imbriquées (avec 4 indices).
Sinon, on peut le faire avec le raisonnement suivant :
le problème sans la contrainte qu'aucune boite ne soit vide ou dépasse 56 objets est connu sous le nom de "stars and bars" dans la littérature : il y a 4 parmi 109 = 5563251 façons de répartir 105 objets dans 5 boites numérotées. Voir par exemple
http://villemin.gerard.free.fr/Denombre ... alle01.htmEn rajoutant la contrainte, il s'agit de compter les répartitions sans boite vide, puis de retirer le nombre de façons de répartir avec au moins une boite qui dépasse 56 objets (dans ce cas, il y en nécessairement qu'une seule, puisque 56+56 >105).
Nombre de façons de répartir sans boite vide = on commence par répartir un objet dans chaque boite et on résout le problème précédent avec 100 objets dans 5 boites => 4 parmi 104 = 4598126 façons de répartir 105 objets dans 5 boites numérotées sans boite vide.
Il faut désormais retirer de ces 4598126 façons toutes celles pour lesquelles l'une des boites (exactement) dépasse 56 objets.
Exercice : Combien y a t il de telles façons avec la boite 1 qui dépasse 56 objets ?
Solution : regarde "stars and bars with upper constraint" sur math stack exchange par exemple
