Equation différentielle

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LELE25
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Equation différentielle

par LELE25 » 07 Avr 2021, 10:02

Bonjour, j'ai un DM a rendre mais je n'y arrive pas.

Enoncé : une tasse de café brûlant est servie à un client dans un salon de thé. Initialement de 95°C,la température du café est encore de 73°C, 5 minutes après avoir été servi. Il est 16h20 et il fait 20°C dans le salon. On admet que la température du café peut être modélisée par un fonction T solution de l'équation différentielle T'(t) = K (T(t)-Ta), où T(t) est la température du café, exprimée en degrés Celsius, à l'instant t, exprimé en minutes, avec t >= 0, K est une constante réelle négative et Ta est la température du milieu ambiant.

Questions :
1) montrer que T(t) = 75e^Kt + 20, pour tout t >=0
2) montrer que K = -0,07
3) sachant que la température idéale de dégustation est de 40°C, à quelle heure le client pourra-t'il savourer son café ?


Voici les questions mais je n'arrive pas a mettre sous la forme y'=ay+b



hdci
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Re: Equation différentielle

par hdci » 07 Avr 2021, 10:23

Bonjour,

L'énoncé dit :
LELE25 a écrit:On admet que la température du café peut être modélisée par un fonction T solution de l'équation différentielle T'(t) = K (T(t)-Ta), où T(t) est la température du café [...]


vous dites :
LELE25 a écrit:mais je n'arrive pas a mettre sous la forme y'=ay+b


Relisez bien l'énoncé. Vous demande-t-on de prouver que c'est de la forme y'=ay+b, ou bien vous dit-on que c'est de la forme y'=ay+b ?

Ou alors vous ne "voyez" pas ce qu'est "y" dans l'énoncé ? Rappelez-vous : les noms qu'on donne aux objets mathématiques ne sont pas figés, on donne les noms qu'on veut. Si je veux appeler ma fonction T au lieu de y...
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

LELE25
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Re: Equation différentielle

par LELE25 » 07 Avr 2021, 10:29

Mon prof m'a donné une aide en me disant qu'il faut mettre T'(t) sous la forme y'=ay+b
donc T'(t) = y' mais la suite n'est pas sous cette forme

Pisigma
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Re: Equation différentielle

par Pisigma » 07 Avr 2021, 10:32

Bonjour,

T'(t) = K (T(t)-Ta)

y'(x)=a y(x)+b

en comparant ne vois tu pas?

LELE25
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Re: Equation différentielle

par LELE25 » 07 Avr 2021, 10:35

Je vois bien qu'il y a un rapport mais n'arrive pas a être claire dans mon raisonnement pour y arriver.
Ce serait sa :
y'(x) = T'(t)
a = K
y(x) = T(t)
b= Ta
Ce qui me bloque c'est que b est positif et pas Ta et K est pour toute la parenthèse et a seulement pour y

Pisigma
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Re: Equation différentielle

par Pisigma » 07 Avr 2021, 11:04

effectivement en distribuant a est juste mais b=-K Ta

donc il suffit de remplacer dans l'expression de y(x) et tu auras T(t)

LELE25
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Re: Equation différentielle

par LELE25 » 07 Avr 2021, 11:06

j'ai donc réussi a résoudre mon soucis maintenant je suis coincer pour sortir K de ma fonction : 73 = 75e^Kx5 +20

Pisigma
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Re: Equation différentielle

par Pisigma » 07 Avr 2021, 11:21

donne un peu l'expression de T en fonction du temps

hdci
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Re: Equation différentielle

par hdci » 07 Avr 2021, 11:28

T'(t)=y et T=y.

Donc

T'(t)=K(T-Ta)... Sachant que Ta n'est pas "T multiplié par a", mais une certaine constante

... Et vous ne voyez pas apparaître la forme T'=aT+b ?

... Il n'y a qu'à développer...
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Sa Majesté
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Re: Equation différentielle

par Sa Majesté » 07 Avr 2021, 11:35

LELE25 a posté 2 fois le même sujet.
J'ai fusionné les messages, ce qui rend la conversation incompréhensible.
Tant pis pour LELE25.

Black Jack

Re: Equation différentielle

par Black Jack » 07 Avr 2021, 11:44

Bonjour,

1)
L'énoncé a la bonté de te fournir la solution à laquelle tu dois arriver, soit :

T(t) = 75e^Kt + 20 (pour t >= 0)

Il suffit donc de vérifier si cette solution convient pour l'équation T'(t) = K (T(t)-Ta) (que l'énoncé te donne aussi)
---
T(t) = 75e^(Kt) + 20
T' = 75.K.e^(Kt)

75.K.e^(Kt) = K (75e^(Kt) + 20 -Ta)
75.K.e^(Kt) = 75.K.e^(Kt) + K(20 - Ta)
et comme Ta = 20 (donné dans l'énoncé), on arrive à 75.K.e^(Kt) = 75.K.e^(Kt)
qui montre que T(t) = 75e^(Kt) + 20 est bien solution de T'(t) = K (T(t)-Ta) pour t>= 0 (et Ta = 20 °C)
*****
2)
L'énoncé donne l'info : T(5) = 73 (avec le temps en min et T en °C)
-->
T(t) = 75e^(Kt) + 20
T(5) = 75e^(5K) + 20 = 73
e^(5K) = 53/75
K = (1/5).ln(53/75)
K = -0,0694... (arrondi à - 0,07)
*****
3)
On a donc T(t) = 75e^(-0,07.t) + 20
Et on cherche la valeur de t pour laquelle on aura T = 40°C
...

Cela permettra de trouver l'heure idéale pour boire le café.
********************
Remarque, on peut résoudre le problème sans que l'énoncé ne précise la forme de l'expression de T(t) = 75e^Kt + 20 ... mais cela ne semble pas demandé ici (peut-être à cause de la matière enseignée jusqu'ici).

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