Bonjour,
Il y a, me semble-t-il, un gros soucis dans la réflexion ... ou alors je n'ai pas compris ce que tu cherches.
Tu écris : j'ai deux murs, qu'on peut définir par x=0 et y = 0 ...
et aussi : Dans le cas ou mes murs ne sont pas perpendiculaires ...
Ce n'est pas cohérent avec un repère orthonormé.
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En travaillant dans un repère orthogonal (les axes sont perpendiculaires et d'équation x = 0 et y = 0) avec le coin des murs à l'origine.
Si les murs sont perpendiculaires, on aura C(R ; R) et le rayon du cercle est R
R est n'importe quel réel positif.
Si les murs ne sont pas perpendiculaires :
On choisit (par exemple) le mur vertical comme axe des ordonnée (équation : x = 0)
Le mur (plancher) aura pour équation y = tan(alpha) * x (avec alpha l'angle fait entre l'horizontale et le plancher... alpha est donc connu ou mesurable)
Le centre C du cercle sera sur une droite perpendiculaire au plancher donc de coefficient directeur = -1/tan(alpha)
son équation est donc y = -1/tan(alpha) * x + k (avec k à déterminer)
La perpendiculaire au plancher passant par C perce le plancher au point S
Le centre C du cercle sera aussi sur une droite perpendiculaire au mur à une ordonnée H à déterminer.
son équation est donc y = H
Et on doit avoir HC = CS
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C est à la rencontre des 2 droites d'équation :
y = -1/tan(alpha) * x + k
y = H
-1/tan(alpha) * x + k = H
x = (k-H).tan(alpha)
--> C((k-H).tan(alpha) ; H)
Il faut déterminer ensuite les coordonnées de S :
intersection de 2 droites d'équations :
y = -1/tan(alpha) * x + k
y = tan(alpha) * x
-1/tan(alpha) * x + k = tan(alpha) * x
x.(tan(alpha) + 1/tan(alpha)) = k
x.(tan²(alpha) + 1)/tan(alpha) = k
x = k.tan(alpha)/(tan²(alpha) + 1)
x = (1/2).k.sin(2alpha)
et y = tan(alpha)*x = (1/2).k.sin(2alpha)*tan(alpha)
y = k.sin²(alpha)
--> S((1/2).k.sin(2alpha) ; k.sin²(alpha))
CS² = ((k-H).tan(alpha) - (1/2).k.sin(2alpha))² + (H - k.sin²(alpha))²
HC² = ((k-H).tan(alpha))²
On doit avoir CS = HC, soit CS² = HC²
--> ((k-H).tan(alpha) - (1/2).k.sin(2alpha))² + (H - k.sin²(alpha))² = ((k-H).tan(alpha))²
En divisant les 2 membres par k² et en posant X = H/k, il vient :
((1-X).tan(alpha) - (1/2).sin(2alpha))² + (X - sin²(alpha))² = (1-X)².tan²(alpha)
en multipliant les 2 membres par cos²(alpha), l'équation devient :
((1-X).sin(alpha) - sin(alpha).cos²(alpha))² + (X.cos(alpha) - sin²(alpha).cos(alpha))² = (1-X)².sin²(alpha)
En développant, on a une équation du second degré en X (puisque alpha est connu) ...
on peut donc calculer X = H/k
qui permet pour alpha différent de Pi/2, de calculer les coordonnées du centre du cercle C(k.(1-X)tan(alpha) , X) avec k une valeur positive quelconque.
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Aucun calcul vérifié ... Exemple numérique :
alpha = 0,05 rad (2,86°) (plancher qui monte en s'éloignant du coin)
On a :
((1-X).sin(0,05) - sin(0,05).cos²(0,05))² + (X.cos(0,;05) - sin²(0,05).cos(0,05))² = (1-X)².sin²(0,05)
Qui développé donne une équation du second degré, qui a pour racine positive (car x/k est positif) :
X = 0,049979 (arrondi)
les coordonnées du centre sont C(k.(1-X)tan(alpha) , k.X)
C(k.(1-0,049979)tan(0,05) ; 0,049979.k)
C(0,04754.k ; 0,049979.k)
avec k quelconque ... par exemple k = 100 --> C(4,754 ; 4,9979) (en cm)
Et R = 4,754 (en cm)
