Question de probabilité Loi ..

[OscarLacoste]

Bonjour j’ai une question :

J’ai dans un TD, ce passage : soit une variable aléatoire Yn avec la fonction de répartition :

Puis ensuite ils disent que la loi de Y :

Mais je ne comprends pas comment on en vient à là, quelqu’un peut-il m’expliquer?

Merci de m’avoir lu !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je ne comprends pas comment une fonction de répartition peut ne pas être continue à droite en 0.

[OscarLacoste]

Effectivement pardon, j’ai modifié l’énoncé sur le premier message. J’ai Yn enfaite et la fonction de répartition de Yn qui tend vers les valeurs comme indiqué ci dessus.

[GaBuZoMeu]

Ça ne fait toujours pas sens.

[Vassillia]

Bonjour, je pense qu’il s’agit juste de la fonction de Heaviside et comme elle est discontinue en 0, certains mettent H(0)=0 ; d’autre H(0)=1 et d’autres encore H(0)=1/2 juste pour que ce soit symétrique (mais je suis d'accord avec GaBuZoMeu que cette valeur n'a de toute façon pas de sens).
La dérivée au sens des distributions donne la distribution de Dirac ce qui justifie la suite.

[GaBuZoMeu]

Je pense au contraire que la valeur de la fonction de répartition en 0 a bien un sens, mais que cette valeur est obligatoirement 1. Il faut se rappeler de la définition de la fonction de répartition d'une variable aléatoire : . Cette définition entraîne qu'une fonction de répartition est toujours continue à droite.

[OscarLacoste]

GaBuZoMeu, je suis d'accord avec toi sur la continuité... mais j'essaye de comprendre ce que mes profs ont dit en TD, je ne suis pas en capacité de faire mieux pour ma question..

Vassillia, merci beaucoup, grâce à ce mot clef "Heaviside" j'ai pu aller me renseigner sur wikipédia...

[Vassillia]

Oui, j’avais compris ton argument GaBuZoMeu et il est tout à fait convaincant à mes yeux mais comme je l’ai déjà vu écrit de plusieurs manières différentes, je préfère dire que cela n’a pas de sens pour que les étudiants ne soient pas trop perturbés quand cela change. L’énoncé donne une valeur ½ et bien tant pis, faisons avec…

Histoire « d’excuser » un peu l’auteur, j’imagine que les Yn ont une fonction de répartition plus ou moins de la forme
si
si
si

PS : je ne sais pas quel est le parcours du demandeur mais je connais la plupart des programmes de biostats de 1er année des FACs françaises et je t’assure que j’ai vu bien pire que cela comme question sur les variables aléatoires

[GaBuZoMeu]

Bon, une interprétation possible :

Tu as une suite de variables aléatoires réelles telle que la suite des fonctions de répartition converge simplement vers la fonction qui vaut 0 sur , 1/2 en 0 et 1 sur . Par exemple a une loi uniforme sur .
Alors la suite converge en loi vers une variable aléatoire , de Dirac en 0 : elle vaut 0 avec probabilité 1. La fonction de répartition de , elle, vaut 0 sur et 1 sur .
La définition de convergence en loi demande que converge simplement presque partout vers (ici en dehors de qui est de mesure nulle).

C'est sans doute quelque chose comme ça qui était raconté dans le TD. Et là, pas de problème.

PS. Vassilia, j'ai vu que tu avais répondu entre-temps.

[Vassillia]

Je suis d'accord que c'est bien plus propre présenté comme cela si et seulement si il a au programme différents types de convergence mais je suis partie du principe qu'il ne l'avait dans sa correction sinon il en aurait parlé (peut-être une erreur de ma part comme j'ai pris l'habitude d'enseigner sans même quand on en aurait besoin).

[OscarLacoste]

Merci GaBuZoMeu

Oui j'avais bien compris que la convergence simple de la fonctions de répartition vers Fy équivalait à la convergence en Loi de la variable aléatoire vers y, je ne voyais juste pas comment passer de la fonction qu'on avait : dite de Heaviside à la loi, je sais que d'habitude on dérivait la fonction de répartition pour retomber sur la loi et du coup je suis allé voir la dérivée de la fonction de Heaviside sur wikipédia pour comprendre comment on trouvait dirac et c'est niquel !

Peu importe, merci à vous , et je ferais sûrement la remarque de "l'erreur" de l'auteur à mes professeurs..

[Vassillia]

C'est pas vraiment une erreur, c'est juste que tu ne connais que la convergence simple et pas la convergence presque partout qui est suffisante pour avoir la convergence en loi. Cette dernière permet en gros de transformer le 1/2 en ce que tu veux et donc tu peux écrire une fonction de répartition continue à droite comme il faut. Désolé d'avance, GaBuZoMeu, je sais que tu ne vas pas aimer mon explication mais il faut bien se débrouiller avec ce qu'on a comme notion connue.

[OscarLacoste]

Oui pardon j'ai mieux compris après l'envoi de mon message du coup comme on parle de convergence presque partout on peut rajouter ce qu'on veut au point 0 car {0} est négligeable au sens de la mesure de lebesgue?
Et du coup comme la fonction de répartition doit être continue à droite, on "transforme" le 1/2 si t=0 en 1 si t=0
Pour obtenir la continuité?

[Vassillia]

Dans l'idée, c'est ça, mais c'est expliqué dans ton TD car tu connais ces notions ou pas ?
Si oui, il aurait pu être utile de le dire car c'est pour ça qu'il était difficile de t'aider au début mais c'est pas grave, tant que tu as compris, c'est le principal.

[OscarLacoste]

Je suis sensé connaître ces notions car j'ai suivi le semestre dernier une UE de théorie de la mesure, mais ça s'est assez mal passé pour moi, dans mon TD il y'a juste marqué : " Fn(t) tend vers 1 si t>0, 1/2 si t=0, 0 si t<0, Fn(t) converge en ses points de continuité, Yn->Y en loi où Y de mesure "

[GaBuZoMeu]

Et qui étaient les ??
Revois la définition de la convergence en loi.