Différentielle séries entières endomorphismes

[Restefond34]

Bonjour,

je bloque sur la correction d'une question de calcul différentiel.
L'objectif de l'exercice est de calculer la différentielle de où est une série entière de rayon .
On a pu calculer les différentielles auparavant de chacune des fonctions .
Voici là où je bloque (on se place dans le cas où f et f+h sont de norme inférieures à R):


Moi aussi j'obtiens les deux conclusions "faciles", mais je ne comprends pas comment il en déduit la convergence de la série. J'ai essayé de trouver une inégalité plus explicite pour les , mais rien de convaincant ne se dégage. Je suis très gêné par le fait qu'on ait une sorte d'inégalité. C'est un problème de suite (ou plutôt série) numérique récurrente je pense.

La partie droite de l'inégalité de droite serait clairement un terme général de série convergente (série entière dérivée). Mais la première partie ne s'arrange pas bien et je ne vois pas comment introduire son de manière utile...

Auriez-vous une piste ? J'ai l'impression que c'est tout bête pourtant...

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Si tu étais un peu plus explicite, on pourrait peut-être t'aider. En particulier, ça éviterait de jouer aux devinettes pour savoir qui est .

[Restefond34]

Bonjour,

merci pour votre réponse. Je pensais qu'en dire trop risquerait plus d'embrouiller, car ici j'ai l'impression que c'est davantage un problème de suite numérique que d'endomorphismes ou de topologie.

En fait, nous avons pour tout entier :

correspond donc au terme d'erreur lorsqu'on écrit le "développement limité" à l'ordre 1 de , la somme au milieu étant la différentielle (ce que j'ai prouvé car est un terme en en norme d'opérateur).
On obtient bien la relation de récurrence liant à donnée dans le texte. Mais c'est la convergence de la somme de terme général en norme (et l'inégalité) qui ne me semble pas du tout évidente à déduire de l'inégalité de récurrence...
Pour faire simple, c'est le passage de la deuxième inégalité (sur la récurrence) à la dernière inégalité (sur la série), dans le premier message, qui me pose problème.

Si j'obtiens cette convergence, je peux en déduire que la somme est elle-même un terme en , ce qui me permettra de pouvoir affirmer que la différentielle de ma fonction correspond bien à la somme de toutes les différentielles.

N'hésitez pas si cela vous semble toujours un peu flou

EDITION 21:59 : je m'en suis sorti autrement qu'en suivant cette indication grâce à ce que j'ai trouvé sur ce lien !
http://enroutepourl.agreg.free.fr/le%E7 ... e(lesbases).pdf