Application lineaire

[chelh]

je cherche une preuve pour la proposition suivante;
∀ famille (fi)i∊I,de F,∃ une unique V∊L(E,F) tq:∀i∊I:V(ei)=fi .
(sachant que (ei)i∈I,une base de E)

[hdci]

Bonjour,

Il faut ici vérifier l'existence et l'unicité.

Pour l'existence, partant de la définition V(ei)=fi, il suffit de montrer que l'application qui à toute combinaison linéaire des ei associe la combinaison linéaire des V(ei) est une application linéaire.

Pour l'unicité, on considère h une application linéaire vérifiant h(ei)=V(ei) et on démontre que l'image de tout combinaison linéaire par h des ei est égale à l'image par V.