Calcul d'intégrale ln et exponentielle

[Pyrrhus6]

Bonjour,

J'ai la fonction et on me demande ci-dessous de calculer l'intégrale.



J'ai vérifié mon résultat en ligne avec des calculateurs d'intégrale, qui me donnent comme bonne réponse la c).
Cependant, j'ai beau calculer et recalculer, je ne retrouve pas ce résultat. Si on pose I comme étant l'intégrale, je trouve au lieu de .

J'ai séparé en deux parties : d'un côté le logarithme, de l'autre l'exponentielle. L'exponentielle ne pose évidemment aucun souci.
Pour le logarithme, j'ai fait une intégration par parties et j'arrive finalement à :
entre -1 et 1, ce qui me donne le résultat précédemment cité.

Qu'est-ce que je loupe dans mon calcul ?

[Black Jack]

Bonjour,

Une méthode parmi d'autres :

Pour x > 0, ln(1+|x|) = ln(1+x)

S ln(1+x) dx
Poser ln(1+x) = u --> dx/(1+x) = du
et poser dx = dv --> v = x

S ln(1+x) dx = x.ln(1+x) - S x/(1+x) dx
S ln(1+x) dx = x.ln(1+x) - S (1+x-1)/(1+x) dx
S ln(1+x) dx = x.ln(1+x) - x + ln(1+x)

S(de 0 à 1) ln(1+x) dx = ln(2) - 1 + ln(2) = 2.ln(2) - 1
-----
Pour x < 0, ln(1+|x|) = ln(1-x)

et de manière analogue à ci-dessus, on arrive à :

S ln(1-x) dx = x.ln(1-x) - x - ln(1-x)

S(de-1à0) ln(1-x) dx = ln(2) - 1 + ln(2) = -1 + 2.ln(2)
----

On a donc S(de-1à1) ln(1+|x|) = 2.ln(2) - 1 - 1 + 2.ln(2)

S(de-1à1) ln(1+|x|) = 4.ln(2) - 2
----------
S(de-1à1) e^-x dx = [-e^-x](de-1à1) = -1/e + e
--------

Donc S(de-1à1) f(x) dx = 4.ln(2) - 2 - (- 1/e + e)

S(de-1à1) f(x) dx = 2.(2.ln(2) - 1) - (e - 1/e)

[Pyrrhus6]

Merci pour la réponse !

D'accord, il fallait décomposer...

Je saurai maintenant, si je le rencontre de nouveau !

Merci beaucoup, bonne soirée !

[Black Jack]

Rebonjour,

On pouvait aussi faire ceci.

g(x) = ln(1 + |x|) : g est paire et donc :

S(de-1à1) ln(1+|x|) dx = 2. S(de0à1) ln(1+x) dx

Et donc :

S(de-1à1) f(x) dx = 2. S(de0à1) ln(1+x) dx - S(de-1à1) e^(-x) dx
----

Et comme dans mon précédent message : S ln(1+x) dx = x.ln(1+x) - x + ln(1+x)

--> S(de-1à1) f(x) dx = 2. [(x.ln(1+x) - x + ln(1+x))](de0à1) + [e^-x](de-1 à 1)

S(de-1à1) f(x) dx = 2. (ln(2) - 1 + ln(2)) + (1/e - e)

S(de-1à1) f(x) dx = 2. (2.ln(2) - 1) - (e - 1/e)