Calcul d'intégrale ln et exponentielle

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Pyrrhus6
Membre Naturel
Messages: 46
Enregistré le: 02 Mar 2021, 10:52

Calcul d'intégrale ln et exponentielle

par Pyrrhus6 » 27 Mar 2021, 15:44

Bonjour,

J'ai la fonction et on me demande ci-dessous de calculer l'intégrale.

Image

J'ai vérifié mon résultat en ligne avec des calculateurs d'intégrale, qui me donnent comme bonne réponse la c).
Cependant, j'ai beau calculer et recalculer, je ne retrouve pas ce résultat. Si on pose I comme étant l'intégrale, je trouve au lieu de .

J'ai séparé en deux parties : d'un côté le logarithme, de l'autre l'exponentielle. L'exponentielle ne pose évidemment aucun souci.
Pour le logarithme, j'ai fait une intégration par parties et j'arrive finalement à :
entre -1 et 1, ce qui me donne le résultat précédemment cité.

Qu'est-ce que je loupe dans mon calcul ?



Black Jack

Re: Calcul d'intégrale ln et exponentielle

par Black Jack » 27 Mar 2021, 16:22

Bonjour,

Une méthode parmi d'autres :

Pour x > 0, ln(1+|x|) = ln(1+x)

S ln(1+x) dx
Poser ln(1+x) = u --> dx/(1+x) = du
et poser dx = dv --> v = x

S ln(1+x) dx = x.ln(1+x) - S x/(1+x) dx
S ln(1+x) dx = x.ln(1+x) - S (1+x-1)/(1+x) dx
S ln(1+x) dx = x.ln(1+x) - x + ln(1+x)

S(de 0 à 1) ln(1+x) dx = ln(2) - 1 + ln(2) = 2.ln(2) - 1
-----
Pour x < 0, ln(1+|x|) = ln(1-x)

et de manière analogue à ci-dessus, on arrive à :

S ln(1-x) dx = x.ln(1-x) - x - ln(1-x)

S(de-1à0) ln(1-x) dx = ln(2) - 1 + ln(2) = -1 + 2.ln(2)
----

On a donc S(de-1à1) ln(1+|x|) = 2.ln(2) - 1 - 1 + 2.ln(2)

S(de-1à1) ln(1+|x|) = 4.ln(2) - 2
----------
S(de-1à1) e^-x dx = [-e^-x](de-1à1) = -1/e + e
--------

Donc S(de-1à1) f(x) dx = 4.ln(2) - 2 - (- 1/e + e)

S(de-1à1) f(x) dx = 2.(2.ln(2) - 1) - (e - 1/e)

8-)

Pyrrhus6
Membre Naturel
Messages: 46
Enregistré le: 02 Mar 2021, 10:52

Re: Calcul d'intégrale ln et exponentielle

par Pyrrhus6 » 27 Mar 2021, 18:23

Merci pour la réponse !

D'accord, il fallait décomposer...

Je saurai maintenant, si je le rencontre de nouveau !

Merci beaucoup, bonne soirée !

Black Jack

Re: Calcul d'intégrale ln et exponentielle

par Black Jack » 27 Mar 2021, 19:09

Rebonjour,

On pouvait aussi faire ceci.

g(x) = ln(1 + |x|) : g est paire et donc :

S(de-1à1) ln(1+|x|) dx = 2. S(de0à1) ln(1+x) dx

Et donc :

S(de-1à1) f(x) dx = 2. S(de0à1) ln(1+x) dx - S(de-1à1) e^(-x) dx
----

Et comme dans mon précédent message : S ln(1+x) dx = x.ln(1+x) - x + ln(1+x)

--> S(de-1à1) f(x) dx = 2. [(x.ln(1+x) - x + ln(1+x))](de0à1) + [e^-x](de-1 à 1)

S(de-1à1) f(x) dx = 2. (ln(2) - 1 + ln(2)) + (1/e - e)

S(de-1à1) f(x) dx = 2. (2.ln(2) - 1) - (e - 1/e)

8-)

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 62 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite