Discret-continu

[Nadraffe]

Bonjour, en approche du grand oral, je dois faire une question problématisée, démontrée d'un exemple sur le thème : Discret-continu. Le problème c'est que c'est quoi ?
Merci d'avance

[mathelot]

bonjour,
le problème discret, c'est d'avoir des égalités indexées par un ou plusieurs entiers.Les valeurs prises par un ou plusieurs entiers forment un ensemble dénombrable et discret. Le continu, c'est de manier des égalités indexées par un ou plusieurs réels. Un ou plusieurs réels forment un ensemble non dénombrable (ils ont comme cardinal la puissance du continu)
Comme exemple, on peut s'intéresser à la méthode d'Euler à un pas pour définir la fonction exponentielle.On pose le problème de Cauchy suivant: y'=y et y(0)=1.
On se donne un réel X strictement positif et un entier N. On pose et on définit la suite réelle , h étant le pas de la méthode , avec h=X/N

d'où
On trouve comme solutions approchées du problème de Cauchy, les polynômes
on montre que cette famille dénombrable de polynômes a pour limite, quand n tend vers l'infini, une fonction
qui vérifie l'équation différentielle y'=y et y(0)=1. Au contraire, une méthode continue serait de définir l'exponentielle comme bijection réciproque du logarithme. Avant la présence massive des ordinateurs, on définissait la fonction exponentielle comme bijection réciproque du log, avec les ordinateurs on a discrétisé le problème, en définissant des suites de fonctions qui sont des solutions approchées d'équations différentielles car les suites (de nombres, de fonctions) se traitent par informatique. POur la terminologie, les ensembles discrets sont constitués de points isolés, tandis que les ensembles continus ont les propriétés topologiques de l'ensemble des réels (connexes et de cardinal la puissance du continu)