Probabilité de tirer un échantillon spécial

[Kugge]

Bonjour

Je cherche la probabilité de tirer dans la population un échantillon de 14964 personnes dont la part d'individus ayant contracté le covid est de 0.1% sachant que dans la population la probabilité d'attraper le covid est de 1.3%

J'ai essayé une loi binomiale X~B(14964, 0.013) et calculer P(X=150) avec 150 =~ 0.001*14964 mais on ne devrait pas utiliser le theoreme centrale limite ? je ne comprends pas

[Vassillia]

Bonjour, la loi binomiale est la plus adaptée pour ton calcul.
Le théorème central limite sert à approximer la loi binomiale B(n,0.013) en loi normale dès que n est suffisamment grand car il y a convergence en loi quand n tend vers l'infini. En pratique, on se contente souvent de 0.013n>5 pour autoriser cette approximation mais c'est un usage, pas une vérité absolue. L'intérêt d'approximer une loi binomiale par une loi normale se fait surtout sentir pour calculer P(X<150) car avec une loi binomiale, il faut sommer beaucoup de termes. Pour calculer P(X=150) ce n'est pas une bonne idée même si on peut se débrouiller avec une loi continue quand même pour approcher ce calcul.

[lyceen95]

Je pense qu'il y a une faute d'étourderie ou de calcul quelque part.
14964 personnes testées.
0.1% de personnes positives, ça donnerait 14,964, et donc 15 personnes, et pas 150.

Et je confirme, la question qu'on doit se poser, c'est quelle est la probabilité d'obtenir 150 personnes, ou moins.

[Vassillia]

Pas regardé les valeurs numériques mais tu as évidemment raison, soit c'est 1% et donc 150, soit c'est 0.1% et donc 15.

Par contre, je ne comprends pas comment tu peux déduire que la question est d'avoir moins de x% et pas d'avoir x% ? Les 2 questions ont un sens pour moi même si la réponse ne sera pas la même. La première est sûrement plus intéressante et tu considères peut-être que la deuxième donne une proba nulle comme on ne peut pas avoir exactement x% mais environ x% m'enfin on change carrément l'énoncé.

[lyceen95]

Aucune certitude. Que veut-on : P(X=150), P(X<=150) , P(X=15) P(X<=15) ???

Si la valeur de l'énoncé est 0.1, et donc 15, alors je pense que ce qui fait sens, c'est de calculer P(X<=15) :
On a un phénomène, qui touche en moyenne 1.3% de la population ; on a sondé 15000 personnes, on a eu un nombre de personnes positives très bas, quelle était la proba de tomber sur un échantillon aussi atypique ( aussi atypique inclue en fait les cas encore plus atypiques)
En plus, avec ces valeurs, on va obtenir des pourcentages ridiculement bas ...

Si la valeur de l'énoncé est 1% et donc 150, c'est moins évident.