DM Variable aléatoire

[hdci]

Attention à la rigueur de vos notations :

Non c'est P(X=k)*(Xi - E(X))^2

Il y a du "k", du "i".

Et dans votre développement :

Je ne suis pas sur du calcul.

Il manque le symbole de somme : on additionne tout cela pour k allant de 1 à n.

L'idée de développer est en générale "mauvaise". Les formes développées sont plus difficiles à manipuler, on ne voit pas les simplifications (imaginez par exemple qu'au dénominateur on trouve "n+1" - ce n'est pas le cas, mais imaginez : avec votre développement, on ne voit plus la simplification).

Il vous reste donc à manipuler cette somme. Si vous ne "voyez pas comment faire" avec le symbole sigma, écrivez en extension (avec des points de suspensions).
Sinon, une chose que vous pouvez comprendre, c'est que "Sigma d'une somme", c'est pareil que "somme des sigma" puisque dans une somme on peut changer de place tous le nombres. Cela vous permet de regrouper la somme des k², la somme des k et la somme des termes constants.

[Nadraffe]

Attention à la rigueur de vos notations :

Non c'est P(X=k)*(Xi - E(X))^2

Il y a du "k", du "i".

Et dans votre développement :

Je ne suis pas sur du calcul.

Il manque le symbole de somme : on additionne tout cela pour k allant de 1 à n.

L'idée de développer est en générale "mauvaise". Les formes développées sont plus difficiles à manipuler, on ne voit pas les simplifications (imaginez par exemple qu'au dénominateur on trouve "n+1" - ce n'est pas le cas, mais imaginez : avec votre développement, on ne voit plus la simplification).

Il vous reste donc à manipuler cette somme. Si vous ne "voyez pas comment faire" avec le symbole sigma, écrivez en extension (avec des points de suspensions).
Sinon, une chose que vous pouvez comprendre, c'est que "Sigma d'une somme", c'est pareil que "somme des sigma" puisque dans une somme on peut changer de place tous le nombres. Cela vous permet de regrouper la somme des k², la somme des k et la somme des termes constants.

C'est à dire ? Comme ça ?

[Nadraffe]

Roooh, j'ai oublié les carrés

[hdci]

Roooh, j'ai oublié les carrés

Oui, avec les carrés c'est cela.

Mettez donc 1/n en facteur !

Vous serez alors obligé de développer chaque carré (car sinon on ne saura rien faire : développement en dernier recours quand il n'y a pas d'autre manipulation), mais dans ce développement conservez le maximum de factorisation (ainsi, (n+1)/2 restera (n+1)/2 tout le temps).

[Nadraffe]

Roooh, j'ai oublié les carrés

Oui, avec les carrés c'est cela.

Mettez donc 1/n en facteur !

Vous serez alors obligé de développer chaque carré (car sinon on ne saura rien faire : développement en dernier recours quand il n'y a pas d'autre manipulation), mais dans ce développement conservez le maximum de factorisation (ainsi, (n+1)/2 restera (n+1)/2 tout le temps).

On a donc ça ? Après je n'arrive pas à savoir ce que cela peut donner comme résultat.

[hdci]

Expliquez-moi comment vous passez de
(1-(n+1)/2)²+(2-(n+1)/2)²+...+(n-(n+1)/2)²

à

(1+2+...+n-(n+1)/2)²

Avez-vous fait a²+b²=(a+b)² ? (et encore...)

Vérification : calculez donc les deux expressions pour n=2...

[Nadraffe]

Expliquez-moi comment vous passez de
(1-(n+1)/2)²+(2-(n+1)/2)²+...+(n-(n+1)/2)²

à

(1+2+...+n-(n+1)/2)²

Avez-vous fait a²+b²=(a+b)² ? (et encore...)

Vérification : calculez donc les deux expressions pour n=2...

J'ai rassemblé tous les k allant de 1 à n. Le dm est pour mercredi, je pense que je n'aurais clairement pas le temps de le finir d'ici là.

[hdci]

J'ai rassemblé tous les k allant de 1 à n

Ca ne répond pas à ma question !!!

Vous avez écrit ceci : (a+b)²+(c+b)²=(a+b+c)² (j'ai rassemblé a et b)

Est-ce que vous vous rendez seulement compte de cette énormité ?

Règle d'or : quand on a une somme de carrés, en général on ne peut rien faire sauf s'il y a un facteur commun.
D'où la solution de repli : on développe chacun des carrés.

Que fait (k+(n+1)/2)² quand vous le développez ? Tout en sachant qu'on reste au maximum factorisé donc vous conservez (n+1)/2 en tant que tel (indication : quand vous développez (k+a)², qu'est-ce que vous obtenez ?)

[Nadraffe]

J'ai rassemblé tous les k allant de 1 à n

Ca ne répond pas à ma question !!!

Vous avez écrit ceci : (a+b)²+(c+b)²=(a+b+c)² (j'ai rassemblé a et b)

Est-ce que vous vous rendez seulement compte de cette énormité ?

Règle d'or : quand on a une somme de carrés, en général on ne peut rien faire sauf s'il y a un facteur commun.
D'où la solution de repli : on développe chacun des carrés.

Que fait (k+(n+1)/2)² quand vous le développez ? Tout en sachant qu'on reste au maximum factorisé donc vous conservez (n+1)/2 en tant que tel (indication : quand vous développez (k+a)², qu'est-ce que vous obtenez ?)

Ca :

[hdci]

Oui c'est cela.

Maintenant, faites la somme de cette expression pour k allant de 1 à n.

Pour ne pas vous tromper, commencer par la faire pour k allant de 1 à 2, puis k allant de 1 à 3 (en conservant les carrés sur les nombres), pour bien comprendre comment tout cela s'ajoute.

[Nadraffe]

Oui c'est cela.

Maintenant, faites la somme de cette expression pour k allant de 1 à n.

Pour ne pas vous tromper, commencer par la faire pour k allant de 1 à 2, puis k allant de 1 à 3 (en conservant les carrés sur les nombres), pour bien comprendre comment tout cela s'ajoute.

[hdci]

Vérifiez vos calcul. Vous devez trouver ceci



Et pour n=3 vous devez trouver



Donc pour n quelconque, vous trouverez...

[Nadraffe]

Vérifiez vos calcul. Vous devez trouver ceci



Et pour n=3 vous devez trouver



Donc pour n quelconque, vous trouverez...

Pourquoi c'est sur (n+1)/ 4??

[hdci]

Ben, le carré de (n+1)/2.

Relisez bien ce n'est pas (n+1)/4, mais (n+1) au carré, sur 4.

J'aurais pu écrire ((n+1)/2)² à la place.

[Nadraffe]

D'accord je vois. Oui j'ai laissé tout au carré

[Nadraffe]

Pour la variance, comment faut-il utiliser le symbole somme ?

[hdci]

Je ne comprends pas la question : c'est écrit ici

C'est à dire ? Comme ça ?

Qu'il aurait fallu écrire, dans le cas général



Et ici avec xk=k et E(X)=n(n+1)/2 et P(X=k)=1/n



Et comme vous avez développé , il n'y a plus qu'à remplacer. A vous de travailler sur cela maintenant.

[Nadraffe]

Je ne comprends pas la question : c'est écrit ici

C'est à dire ? Comme ça ?

Qu'il aurait fallu écrire, dans le cas général



Et ici avec xk=k et E(X)=n(n+1)/2 et P(X=k)=1/n



Et comme vous avez développé , il n'y a plus qu'à remplacer. A vous de travailler sur cela maintenant.

Justement ça jai su faire mais il reste à simplifierle tout et je n'y arrive pas

[Nadraffe]

J'ai du k^2 - (n+1)k + (n+1)^2 / 4

[hdci]

J'ai du k^2 - (n+1)k + (n+1)^2 / 4

Ca c'est le terme général.
Quand vous ajoutez tout cela pour k allant de 1 à n, qu'est-ce que cela donne ?



A ce stade, c'est de la manipulation simple d'addition et de factorisation. Il vous faut connaître la formule qui donne la somme des entiers de 1 à n (on l'a déjà utilisé) et la formule qui donne la somme des carrés des entiers de 1 à n (je vous la donne : n(n+1)(2n+1)/6)