DM Fonctions dérivées

[Tania07]

Bonjour,
J'ai un DM sur les fonctions dérivée dont l'énoncé est le suivant :
Soit f une fonction définie sur un ensemble I. Préciser son ensemble de dérivabilité Df' et déterminer sa dérivée f'.
1. f(x) = x^2 (√x + 1) ; I = [0 ; +∞[
2. f(x) = (x^3+1)/(x^2 - 1) ; I = R/{-1;1}
3. f(x) = (3x + 1)^3 ; I = R
4. f(x) = √(2x + 1) ; I = [-1/2 ; +∞[
Merci de m'aider je galère...

[hdci]

Bonjour,
Ce n'est que de l'application du cours.

Exemple : question 1 :

C'est le produit de deux fonctions. Chacune d'elle est dérivable sur un ensemble donné, donc on en déduit l'ensemble (minimal) sur lequel la fonction est dérivable. La dérivée se calcule avec les formules usuelles de dérivation d'un produit (vous avez dans votre cours ).
Et, à cause de la racine carrée, il y a un nombre de l'intervalel I pour lequel une étude spécifique doit être faite, en utilisant la définition du nombre dérivé (c'est peut-être le seul point "ardu" de cette question).

Question 2

C'est le quotient de deux fonctions ; ces deux fonctions sont dérivables sur IR et la fraction s'annule uniquement en... (donc compte tenu de l'intervalle I). Après, c'est l'application de la formule du cours

Donc, à vous d'aller chercher un peu dans votre cours, tout y est. S'il vous manque des parties de cours, posez la question (par exemple si vous avez été absente lorsque le prof a donné ces formules par exemple), mais vous devez a minima faire l'effort d'aller chercher dans votre cours, c'est par l'effort qu'on apprend.

[Tania07]

Merci, j'avais trouvé après, j'ai trouvé les dérivés des exos, mais je ne comprends pas à quoi servent les I =... Et ce que la partie '' préciser son ensemble de dérivabilité Df' '' demande.

[hdci]

Le "I=", c'est l'ensemble de définition, l'ensemble sur lequel la fonction est définie. Le plus souvent, cela revient à indiquer l'ensemble sur lequel la "formule" est calculable ; par exemple :
Pouvez-vous déterminer la fonction "racine carrée" sur l'ensemble de tous les réels ?
Pouvez-vous déterminer l'image de 0 par la fonction inverse ?

Mais pas toujours ; par exemple si je fais une expérience de physique qui mesure l'allongement du ressort en fonction de la masse que j'accroche, il est clair que l'ensemble de définition c'est IR+ puisqu'une masse n'est pas négative, mais par contre la fonction que je vais trouver est une fonction linéaire qui s'évalue sur IR. Mais à quoi bon l'étudier sur les nombres négatifs puisque la masse est toujours positive.

Ensuite, certaines fonction sont définies sur un ensemble, mais ne sont pas dérivables sur l'ensemble. Deux exemples :

• La fonction valeur absolue est définie sur IR, mais n'est pas dérivable en 0. Si on me demande "quel est l'ensemble de dérivabilité" je répondrai IR*
• La fonction racine carrée, qui n'est pas dérivable en zéro (la limite du taux de variation en zéro est infinie)

Dans le cas de votre première question, il y a une racine carrée : ce qui fait que potentiellement, la fonction n'est pas dérivable en 0 car la racine carrée n'est pas dérivable en 0. Il faut donc étudier tout particulièrement ce point car la fonction n'est pas la racine carrée, mais est une formule avec la racine carrée, il faut calculer la limite quand x tend vers zéro de f(x)/x : si on toruve une limite finie, alors la fonction est quand même dérivable en zéro.