bonjour à toutes et tous, voilà je prépare le concours de prof des écoles et je vous avoue qu'après 4 ans de fac de psychologie je galère en maths comme jamais. J'ai donc deux exercices à vous soumettre sur lesquel je bloque sec. En espérant que vous pourrez m'éclairer la lanterne:
Exercice 1
1. trouver tous les entiers n à 4 chiffres satisfaisant les conditions suivantes:
-le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur à 20
-le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24
-le reste de la divison de n par 5 est 1
2. On augmente le dividende d'une division de 36 et le diviseur de 3; on constate que le quotient et le reste sont inchangés.
- Déterminer ce quotient.
- On suppose le diviseur est égal à 8. Quelles sont les valeurs possibles du divdende supérieures ou égales à 100 ?
Aide exercices svp!
11 messages
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par rene38 » 07 Déc 2006, 00:26
Bonsoir
Les 2 égalités obtenues permettent d'écrire : 5q'+1=100q+24 ou encore
5q'+1=5(20q)+24 soit 5q'-5(20q)=24-1 ou bien 5(q'-20q)=23.
q et q' étant entiers, q'-20q est entier donc 5(q'-20q) est un entier multiple de 5.
Or 23 n'est pas multiple de 5.
Donc soit le problème n'a pas de solution soit une erreur s'est sournoisement glissée dans l'énoncé.
2. D = dividende ; d = diviseur ; q = quotient ; r = reste.
D = dq + r avec r < d
D+36 = (d+3)q + r
en développant et en soustrayant membre à membre, on obtient q.
Connaissant q et d et sachant que r est un entier naturel inférieur à d,
on a facilement les valeurs possibles (supérieures ou égales à 100) de D.
J'en trouve 4.
donc n=100q+24, q étant le quotient euclidien (entier) de n par 100-le reste de la division de n par 100 est un multiple de 24
donc n=5q'+1, q' étant le quotient euclidien (entier) de n par 5.-le reste de la divison de n par 5 est 1
Les 2 égalités obtenues permettent d'écrire : 5q'+1=100q+24 ou encore
5q'+1=5(20q)+24 soit 5q'-5(20q)=24-1 ou bien 5(q'-20q)=23.
q et q' étant entiers, q'-20q est entier donc 5(q'-20q) est un entier multiple de 5.
Or 23 n'est pas multiple de 5.
Donc soit le problème n'a pas de solution soit une erreur s'est sournoisement glissée dans l'énoncé.
2. D = dividende ; d = diviseur ; q = quotient ; r = reste.
D = dq + r avec r < d
D+36 = (d+3)q + r
en développant et en soustrayant membre à membre, on obtient q.
Connaissant q et d et sachant que r est un entier naturel inférieur à d,
on a facilement les valeurs possibles (supérieures ou égales à 100) de D.
J'en trouve 4.
par Elsa_toup » 07 Déc 2006, 00:41
Bonsoir,
Donc on va noter ce nombre N, et on l'écrit comme suit: N=1000a+100b+10c+d. (avec a, b, c et d dans [0,9]).
condition 1 : le nombre de centaines (soit 10a+b) est premier et < 20.
Donc a < 2.
condition 2 : N = 100k + 24k'.
Donc N est multiple de 4. (N = 4 (25k+6k'))
condition 3 : N = 5m+1.
Donc 1000a+100b+10c+d-1 = 5m.
(2) et (3) nous donnent que
Je suis bloquée là...
Mais je viens de lire ta réponse, rene38.
J'ai fait la même erreur que toi dans un premier temps.
Le reste n'est pas 24, mais un multiple de 24.
Ainsi, dans ton exemple,
Donc on va noter ce nombre N, et on l'écrit comme suit: N=1000a+100b+10c+d. (avec a, b, c et d dans [0,9]).
condition 1 : le nombre de centaines (soit 10a+b) est premier et < 20.
Donc a < 2.
condition 2 : N = 100k + 24k'.
Donc N est multiple de 4. (N = 4 (25k+6k'))
condition 3 : N = 5m+1.
Donc 1000a+100b+10c+d-1 = 5m.
(2) et (3) nous donnent que
Je suis bloquée là...
Mais je viens de lire ta réponse, rene38.
J'ai fait la même erreur que toi dans un premier temps.
Le reste n'est pas 24, mais un multiple de 24.
Ainsi, dans ton exemple,
, comme ce n'est pas 23, mais 24k'-1, q'-20q = 43 fonctionne par exemple...5(q'-20q)=23
par clintlee » 07 Déc 2006, 01:59
merci de votre aide à tous les deux (merci rené pour la question 2,j'ai bien compris l'équation à faire...)
je me perds un peu dans ton raisonnement avec tes a b c d m k...j'ai du mal à suivre...
il est pas simple ce problème...je désespère
je me perds un peu dans ton raisonnement avec tes a b c d m k...j'ai du mal à suivre...
il est pas simple ce problème...je désespère
par Elsa_toup » 07 Déc 2006, 18:55
Je cherche encore...
N est divisible par 4, donc ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
Donc 10c+d est divisible par 4. Et donc en plus d est pair.
Or N congrue à 1 modulo 5, donc son dernier chiffre est 1 ou 6.
Comme ce dernier chiffre est d, et que d est pair, c'est que d = 6.
Donc j'en suis à : N = 1000a+100b+10c+6.
(Ca avance. Doucement, mais ça avance...)
Si on s'occupe de la division par 100, on aura que le reste de cette division est un multiple de 24.
Donc je prends par exemple N = 2546.
2546/100 (division euclidienne) = 25 + 46/100.
Le reste est donc 46, qui n'est pas divisible par 24.
Mais on voit bien que le reste de la division par 100 c'est le nombre formé des deux derniers chiffres de N.
Plus formellement, N = 100q+24r (q: quotient euclidien, r: reste).
Donc 1000a+100b+10c+6 = 100q+24r, soit 100(10a+b-q) = 24r-(10c+6).
Comme, à gauche c'est un entier, à droite aussi, et donc 10c+6 est un multiple de 24.
Comme c compris entre 0 et 9, on peut les essayer :
on trouve c = 9.
Donc N s'écrit : 1000a+100b+9*10+6 = 1000a+100b+96.
Il faut maintenant s'occuper de la condition 1.
Le nombre de centaines est inférieur à 20, donc N est compris entre 1096 et 2096, avec des sauts de 100 à chaque fois (1096,1196,1296, etc...).
Et ce nombre de centaines (soit 10a+b) est premier.
Donc il suffit de "faire défiler" les nombres premiers compris entre 10 et 20 (N est à 4 chiffres, donc 596 ne marche pas par exemple).
On trouve N = 1196, 1396, 1796 et 1996.
Voilà !
Je me rends bien compte que ce n'est pas très clair et je m'en excuse.
Je ne suis pas très douée en arithmétique, donc la théorisation m'échappe un peu.
Mais essaye de comprendre ce que j'ai fait, et je continue à chercher pendant ce temps une démonstratioon plus "mathématique". :we:
N est divisible par 4, donc ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.
Donc 10c+d est divisible par 4. Et donc en plus d est pair.
Or N congrue à 1 modulo 5, donc son dernier chiffre est 1 ou 6.
Comme ce dernier chiffre est d, et que d est pair, c'est que d = 6.
Donc j'en suis à : N = 1000a+100b+10c+6.
(Ca avance. Doucement, mais ça avance...)
Si on s'occupe de la division par 100, on aura que le reste de cette division est un multiple de 24.
Donc je prends par exemple N = 2546.
2546/100 (division euclidienne) = 25 + 46/100.
Le reste est donc 46, qui n'est pas divisible par 24.
Mais on voit bien que le reste de la division par 100 c'est le nombre formé des deux derniers chiffres de N.
Plus formellement, N = 100q+24r (q: quotient euclidien, r: reste).
Donc 1000a+100b+10c+6 = 100q+24r, soit 100(10a+b-q) = 24r-(10c+6).
Comme, à gauche c'est un entier, à droite aussi, et donc 10c+6 est un multiple de 24.
Comme c compris entre 0 et 9, on peut les essayer :
on trouve c = 9.
Donc N s'écrit : 1000a+100b+9*10+6 = 1000a+100b+96.
Il faut maintenant s'occuper de la condition 1.
Le nombre de centaines est inférieur à 20, donc N est compris entre 1096 et 2096, avec des sauts de 100 à chaque fois (1096,1196,1296, etc...).
Et ce nombre de centaines (soit 10a+b) est premier.
Donc il suffit de "faire défiler" les nombres premiers compris entre 10 et 20 (N est à 4 chiffres, donc 596 ne marche pas par exemple).
On trouve N = 1196, 1396, 1796 et 1996.
Voilà !
Je me rends bien compte que ce n'est pas très clair et je m'en excuse.
Je ne suis pas très douée en arithmétique, donc la théorisation m'échappe un peu.
Mais essaye de comprendre ce que j'ai fait, et je continue à chercher pendant ce temps une démonstratioon plus "mathématique". :we:
par clintlee » 07 Déc 2006, 19:08
je vais asseayer de te suivre mais je t'avoue que j'ai du mal...
c'est quoi a b c d ? a le chiffre des milliers? b des centaines aisni de suite?
pourquoi 10c+d ?
1 modulo 5ça veut dire quoi?
p;s: excuse moi mes questions peuvent sembler un peu bête mais ça fait plus de 6 ans que j'ai pas touché à des maths et déjà quand j'étais plus jeune j'étais pas un matheux...
merci sincèrement de ton aide en tout cas
c'est quoi a b c d ? a le chiffre des milliers? b des centaines aisni de suite?
pourquoi 10c+d ?
1 modulo 5ça veut dire quoi?
p;s: excuse moi mes questions peuvent sembler un peu bête mais ça fait plus de 6 ans que j'ai pas touché à des maths et déjà quand j'étais plus jeune j'étais pas un matheux...
merci sincèrement de ton aide en tout cas
par Elsa_toup » 07 Déc 2006, 19:29
Oui, a est le chiffre des milliers, b celui des centaines, c des dizaines et d des unités.
Ce qui explique qu'ils sont strictement inférieurs à 10.
x congrue à 1 modulo 5, ça veut dire qu'on peut écrire : x = 1 + 5q, avec q entier (exemples: 6, 11, 16, 106, 69874501).
Cela signifie aussi que le reste de la division euclidienne de x par 5 est 1 (le quotient sera q).
D'autres questions ? :happy2:
Ce qui explique qu'ils sont strictement inférieurs à 10.
x congrue à 1 modulo 5, ça veut dire qu'on peut écrire : x = 1 + 5q, avec q entier (exemples: 6, 11, 16, 106, 69874501).
Cela signifie aussi que le reste de la division euclidienne de x par 5 est 1 (le quotient sera q).
D'autres questions ? :happy2:
par clintlee » 08 Déc 2006, 23:25
je crois avoir trouvé une façon de poser la solution plus simplement
dis moi ce que t'en penses
- Trouver un entier n à quatre chiffres, soit :
xxxx
- Le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur à 20, soit :
11xx
13xx
17xx
19xx
- Le reste de n/5 est 1 (autrement dit le dernier chiffre de n est 6),
soit :
11x6
13x6
17x6
19x6
- Le reste de n/100 est un multiple de 24 (autrement dit, les deux
derniers chiffres de n forme un nombre multiple de 24, et se terminant
par 6), soit :
1196
1396
1796
1996
je crois que c'est bon
en tout cas je te remercie sincèrement de ton aide précieuse en espérant ne pas t'avoir pris trop de temps.
Bien à toi Elsa! et sûrement à bientôt...
dis moi ce que t'en penses
- Trouver un entier n à quatre chiffres, soit :
xxxx
- Le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur à 20, soit :
11xx
13xx
17xx
19xx
- Le reste de n/5 est 1 (autrement dit le dernier chiffre de n est 6),
soit :
11x6
13x6
17x6
19x6
- Le reste de n/100 est un multiple de 24 (autrement dit, les deux
derniers chiffres de n forme un nombre multiple de 24, et se terminant
par 6), soit :
1196
1396
1796
1996
je crois que c'est bon
en tout cas je te remercie sincèrement de ton aide précieuse en espérant ne pas t'avoir pris trop de temps.
Bien à toi Elsa! et sûrement à bientôt...
par rene38 » 09 Déc 2006, 00:27
et supérieur à 9- Le nombre de centaines de n est un nombre premier inférieur à 20,
ou 1- Le reste de n/5 est 1 (autrement dit le dernier chiffre de n est 6),
ou 1..- Le reste de n/100 est un multiple de 24 (autrement dit, les deux
derniers chiffres de n forme un nombre multiple de 24, et se terminant
par 6),
Mais cette possibilité s'élimine d'elle-même puisqu'aucun multiple de 24 (pair) ne se termine par 1 (impair).
A part ce petit oubli, ton raisonnement est excellent.
par Elsa_toup » 09 Déc 2006, 01:20
Oui c'est nickel (et bien plus court et clair que moi ... :lol: ) bravo à toi donc !
:we:
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