Dérivée

[chloe2002regrain]

Bonjour je voudrais savoir si quelqu'un peut m'aider à comprendre comment la dérivée de racine carré de x. Sur ma leçon c'est écrit que c'est égale à 1 sur 2 racine carré de x mais je ne comprend pas comment on obtient ce résultat et en cherchant sur internet je trouve des trucs avec des h auquel on ne parle pas en cours donc je suis vraiment perdu. Si quelqu'un peut m'aider merci d'avance

[hdci]

Bonjour,

Qu'avez-vous vu en cours ?

La définition du nombre dérivé de la fonction f, pour x=a, c'est



C'est-à-dire, quand on prend des nombres h "très très très proches de zéro", l'expression se "stabilise" en un nombre donné.
D'un point de vue plus "concret", c'est le calcul de la vitesse instantanée : si vous parcourez en une seconde une distance de 10 mètres, votre vitesse moyenne, pendant cette seconde, est de 10 mètres par seconde, mais elle n'a pas forcément été constante pendant toute la seconde. Donc pour calculer une vitesse "plus précise", il faut prendre un intervalle de temps "plus court", sauf que ce sera toujours une vitesse moyenne (sur un délai très court c'est vrai, mais...). La vitesse instantanée devrait être alors calculée sur un délai nul, mais on ne peut pas diviser par zéro : d'où cette notion de limite.

Exemple : avec la fonction carré, le nombre dérivé en 2 est . Mais ça on sait le calculer très précisément, car pour h non nul, on a



Et quand h "tend vers zéro", 4+h "tend vers 4" (remplacer "tendre" par "s'approcher" pour comprendre le concept). Donc le nombre dérivé de la fonction carré en 2 est 4, et si on fait cela pour n'importe quel nombre x, on voit que cela fait 2x.

On procède de même pour la racine carrée, mais les calculs sont plus subtils : on multiplie par la quantité conjuguée pour simplifier le numérateur. Pour x non nul cela donne



Quand h tend vers (s'approche de) zéro, le numérateur ne change pas, le dénominateur tend vers (s'approche de)
D'où le résultat.

[Vassillia]

Bonjour,
hdci a fait une belle démonstration mais si tu n’as pas vu cela en cours ou si tu veux juste le retrouver rapidement en pratique, tu peux te contenter de retenir que la dérivée de pour constante réelle est

Or, on peut écrire donc la dérivée est

[chloe2002regrain]

Merci c'est beaucoup plus clair, je viens de comprendre. Donc racine carré et puissance de 1/2 c'est la même chose au final. Y a juste le 1/2 qui se transforme en 2 que je vois pas trop ce qu'il fait là mais j'ai juste à retenir qu'il est la quoi. Merci beaucoup

[Sa Majesté]

Il ne s'agit pas de retenir des recettes, il faut comprendre.
Que se passe-t-il quand tu remplaces par dans le post de Vassillia ?

[Vassillia]

Le 1/2 ne se transforme pas en 2 enfin je vois ce que tu veux dire mais c'est parfaitement logique, je détaille le passage qui semble poser problème :


Edit : désolée pas vu ta réponse avant de poster Sa majesté