Relation d'ordre/ensembles ordonnés

[SamAz]

Bonsoir, j'espere que vous allez bien. Je me bloque sur un exercice du chapitre sur les relations binaires (d'ordre, d'equivalence), et j'aimerai bien avoir une reponse ou bien un coup de pouce. C'est la question 2. dont je me bloque actuellement. L'enoncé est comme suit:
Soit E un ensemble non vide et F un ensemble ordonné. Soit B l'ensemble de toutes les applications de E dans F. On definit sur B la relation R par:

1. Montrer que R est une relation d'ordre sur B. (deja fait)
2. donner l'exemple de deux ensembles E et F, tels que F est totalement ordonné mais B n'est pas totalement ordonné par R.

merci bien d'avance

[hdci]

Bonjour,

C'est pourtant assez simple : B est l'ensemble des fonctions de E dans F et F est totalement ordonné.
Tant qu'à faire, autant prendre E=F.

Quel ensemble totalement ordonné trivial connaissez-vous ?

[SamAz]

mon probleme c'est de trouver 2 ensembles E et F, F etant totalement ordonné, mais l'ensemble B des applications de E dans F n'est pas totalement ordonné par le R de mon enoncé. Or le R de mon enoncé est equivalent a une inegalite de 2 reels u(x) et v(x) donc on peut toujours comparer par R deux applications quelconques de E dans F, donc B doit etre toujours, dans ce cas, totalement ordonné. Mais ce que je veux c'est un B qui n'est pas totalement ordonné

[hdci]

Je repose ma question avec une précision : quel ensemble (trivial que vous manipulez depuis au moins le collège), totalement ordonné, connaissez-vous ?

On vous demande de trouver E et F, mais rien ne vous interdit de prendre E=F donc dès que vous avez trouvé F vous avez trouvé E.

Par suite votre ensemble B sera forcément ordonné mais non totalement ordonné, il sera facile d'exhiber des contre-exemples. Vous confondez "il existe x tel que u(x) <= v(x)" avec "quel que soit x, u(x) <= v(x)". On peut toujours comparer deux images dans l'ensemble F auquel je pense et auquel vous devez penser, cela ne veut pas dire que quand on compare TOUTES les images elles sont toujours dans le même ordre.

[SamAz]

Bien, pouvez vous me donner une reponse finale?
Un ensemble trivial totalement ordonné est l'ensemble des réels muni de la relation "<="

[hdci]

Un ensemble trivial totalement ordonné est l'ensemble des réels muni de la relation "<="

Oui c'est l'un des ensembles triviaux (en fait n'importe quelle partie de IR convient pour cet exemple).

Bien, pouvez vous me donner une reponse finale?

Je vous l'ai "presque" donnée :

Par suite votre ensemble B sera forcément ordonné mais non totalement ordonné, il sera facile d'exhiber des contre-exemples. Vous confondez "il existe x tel que u(x) <= v(x)" avec "quel que soit x, u(x) <= v(x)". On peut toujours comparer deux images dans l'ensemble F auquel je pense et auquel vous devez penser, cela ne veut pas dire que quand on compare TOUTES les images elles sont toujours dans le même ordre.

Pouvez-vous trouver deux fonctions de IR->IR qui ne soient pas comparables avec la définition de l'énoncé ? Il y en a pléthore, on pourrait même dire que c'est "presque toutes les fonctions". On peut prendre des fonctions extrêmement simples, par exemple, quelles sont les fonctions les plus simples que vous connaissez (hormis les fonctions constantes) ?