Relation racines/coefficients d'un polynome

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zwijndrecht
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Relation racines/coefficients d'un polynome

par zwijndrecht » 15 Mar 2021, 20:55

Bonjour,

Soit un polynôme et soient ses racines.
On suppose qu'il se factorise sous la forme

(On a donc ).
D'après le théorème des polynômes symétriques, je sais que, pour tout , , où est le -ème polynôme symétrique élémentaire évalué en .

Or, dans une preuve, il est écrit que, pour tout , on a , où est le -ème polynôme symétrique élémentaire.

Je ne comprends pas comment on obtient ce résultat à partir du résultat initial (bien connu).

Merci d'avance pour votre aide :)



GaBuZoMeu
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Re: Relation racines/coefficients d'un polynome

par GaBuZoMeu » 15 Mar 2021, 21:08

Bonjour,

Pourquoi écris-tu "On a donc " ?

D'après le théorème des polynômes symétriques, je sais que, pour tout , , où est le -ème polynôme symétrique élémentaire évalué en .


Je ne suis absolument pas d'accord

Or, dans une preuve, il est écrit que, pour tout , on a , où est le -ème polynôme symétrique élémentaire.


Et ici, je suis parfaitement d'accord.

zwijndrecht
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Re: Relation racines/coefficients d'un polynome

par zwijndrecht » 15 Mar 2021, 21:18

Effectivement, c'est plutôt (mais ça on le sait déjà...)
Je suis allé un peu vite.
Pour , en développant, je trouve maintenant plutôt .
Du coup, ça donne plutôt
Mais je ne vois toujours pas comment aboutir au résultat... :/
Modifié en dernier par zwijndrecht le 15 Mar 2021, 21:20, modifié 1 fois.

GaBuZoMeu
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Re: Relation racines/coefficients d'un polynome

par GaBuZoMeu » 15 Mar 2021, 21:20

Regarde de plus près. Quel est le coefficient de quand tu développes le produit ?

zwijndrecht
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Re: Relation racines/coefficients d'un polynome

par zwijndrecht » 15 Mar 2021, 21:23

GaBuZoMeu a écrit:Regarde de plus près. Quel est le coefficient de quand tu développes le produit ?

?
Ah donc il suffisait de développer... ce n'était donc pas si compliqué :)
Merci !

GaBuZoMeu
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Re: Relation racines/coefficients d'un polynome

par GaBuZoMeu » 15 Mar 2021, 21:25

Presque. Il y a un signe qui manque.

zwijndrecht
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Re: Relation racines/coefficients d'un polynome

par zwijndrecht » 15 Mar 2021, 22:21

Il manque un devant, c'est bien ça ?

GaBuZoMeu
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Re: Relation racines/coefficients d'un polynome

par GaBuZoMeu » 16 Mar 2021, 12:59

Oui.

 

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