Exercice sur les dérivations 1ère

[Heloise812]

Bonjour,
Je suis élève de première en spé maths et je suis totalement désespérée face à cet exercice.
Je n'y comprend absolument rien vous êtes ma dernière chance.
Pourriez-vous participer à la résolution de cet exercice ?

https://www.lelivrescolaire.fr/page/7416288 <<<< lien de l'exercice ( c'est le numéro 85 )

Merci d'avance

[hdci]

Bonjour,

Je n'y comprend absolument rien

Absolument absolument ? La première question est "tracer la courbe", tu ne comprends pas ?

La seconde question est "vérifier que la dérivée est (formule donnée)". Il s'agit donc de calculer la dérivée.

Or tu as forcément vu comment faire en cours, et les formules à appliquer (qui doivent être connues par cœur) y sont forcément quelque part.

Pour commencer, explique-nous exactement ce que tu n'arrives pas à faire.

[Heloise812]

Merci pour votre réponse

Pour la première question, je ne sais pas comment tracer la parabole. Enfin sur ma calculatrice je ne sais pas quel mode me permet de calculer l'équation.

Pour le petit b. faut-il utiliser la limite de f lorsque h tend vers 0 ?
Oui j'ai les tableaux avec les fonctions et leurs dérivées.

Ensuite, je ne sais pas comment faire un tableau de variation, pour la c.

Le 2. je n'y suis pas encore.

[hdci]

Pour tracer à la calculatrice, je ne pourrai pas t'aider, cela dépend des calculatrices. A la maison, je recommanderais plutôt l'utilisation de Geogebra, beaucoup plus pratique. Mais la question (a) n'est pas la plus importante.

Pour la (b), beaucoup trop compliqué. Tu as forcément vu les formules permettant de dériver les polynômes, les formules permettant de dériver le produit de fonctions, les formules permettant de dérivée le quotient de deux fonctions.
Par exemple, cela doit te rappeler quelque chose, et c'est une formule à savoir par cœur.
Ici, on est plutôt sur , retrouve la formule dans ton cour et apprends-là par cœur.

Pour la (c) : faire un tableau de variations, là encore c'est dans ton cours : quand la dérivée est positive alors la fonction est... ? Et quand elle est négative, alors la fonction est ... ? Donc il faut étudier le signe de la dérivée.
Quant à la forme du tableau de variation, c'est vu en seconde : avec des flèches qui montent, qui descendent...

[Heloise812]

Ah oui ! Je vois ces formules avec "u et v" dans mon cours.
La forme du tableau de variation je vois.
Quand la dérivée est positive alors la fonction est croissante ?
Quand la dérivée est négative alors la fonction est décroissante ?

J'essaye de faire tout le grand 1 puis je vous dit ce que je trouve ?

[hdci]

Pour les variations, c'est cela

Continue...

[mathelot]

Quand la dérivée est positive alors la fonction est croissante ?

La fonction f est strictement croissante sur un intervalle si f' est strictement positive sur le même intervalle.

exemple :
f n'est pas croissante sur R*

[Heloise812]

Me re-voilà perdue

Ce que j'ai trouvé : 1.a. J'ai réussi à tracer sur ma calculatrice mais comment en déduire que f est définie sur R ?
b. On sait que (u/v)² =(u'v - v'u)/(v²) avec ici, u(x)= 2x+1 et v(x)=4x²+4x+5
u'(x)=2 et v'(x)= 2 * 4x+4
et v'(x)= 8x + 4
Donc = (2 * 4x² + 4x +5) - (8x + 4 * 2x + 1)
____________________________________ (barre de fraction)
(4x² + 4x + 5)²
Mais je n'arrive pas à aller plus loin

c. Je ne comprends pas comment étudier le signe de f'(x) et donc je ne sais pas comment dresser le tableau de variation de f

d. Je ne peux pas le faire si je n'ai pas la réponse de la c.

[hdci]

1.a. J'ai réussi à tracer sur ma calculatrice mais comment en déduire que f est définie sur R ?

Comment est la parabole ? Est-ce qu'on peut en déduire son signe à partir de son tracé ?
Pour identifier l'ensemble de définition d'une fonction, en général il n'y a que quelques réflexes à avoir : par exemple, l'expression sous une racine carrée doit être positive. Quand on est en 1ère, quel est l'autre cas (le "réflexe") qu'il faut avoir pour identifier si une expression est bien définie ?
Alors, compte tenu de ce que l'on voit avec le tracé de la parabole, on en déduit la conclusion.

Pour le second point. Tu as trouvé (je ré-écris exactement ce que je lis) :



POur le dénominateur je suis d'accord. Mais pour le numérateur, pas du tout : en effet, ne manque-t-il pas quelque chose d'ultra important compte tenu de la priorité des opérations ?
Ce type d'erreur d'écriture n'est pas admissible pour une première spécialité. Qu'est-ce qu'il faut corriger ?

Après correction : on vous demande de démontrer que ce que vous trouvez est égal à , pour tout réel x. Ca tombe bien les dénominateurs se ressemblent pas mal. Il faut alors examiner les numérateurs : que peut on faire pour démontrer que A(x)=B(x) pour tout x, lorsque A et B sont deux expressions en fonction de x ?
Par exemple, ce que vous avez sûrement rencontré en seconde : si je vous demande de démontrer que pour tout réel x, comment ferez-vous ?

Pour le c : l'énoncé vous dit que pour tout réel x, .
Comment fait-on pour étudier le signe d'une telle expression ? Rappelez-vous de votre collège : "plus par plus égla ? moins par moins égal ? moins par plus égal ?", et rappelez vous le "tableau de signes" vu en seconde.

[Heloise812]

La parabole est tournée vers le haut . Son signe est positif ?
Je ne connais pas l'autre cas...pour identifier si une expression est bien définie

J'ai oublié les parenthèses ?!? Ce qui donne maintenant : (2 x (4x² + 4x + 5)) – ((8x + 4) x (2x+1))
__________________________________________ (barre de fraction) (4x² + 4x + 5)²

Il faut utiliser la double distributivité ou la factorisation ? Mais si je simplifie, je trouve pour numérateur : -8x² - 8x + 6

Pour la c : J'ai mes cours de seconde sous les yeux, il faut trouver le maximum de la fonction atteint en un point puis le minimum et mettre les signes qui correspondent ? Ca vraiment je ne comprends pas comment on fait
Il faut trouver les signes en fonction des intervalles mais là nous n'avons pas la courbe alors comment faire ?
S'il ne faut pas faire comme ça alors il faut résoudre l'équation pour f'(x) strictement supérieure à 0 ?
et f'(x) strictement inférieure à 0 ?

[hdci]

La parabole est tournée vers le haut . Son signe est positif ?

L'orientation de la parabole et "son signe" (sous-entendu : le signe du polynôme du second degré, attention à ne pas confondre la fonction et la courbe représentative) sont deux choses bien différentes. Par exemple, la parabole correspondant à est "orientée vers le haut", mais l'image de zéro est négative.

Ici plus concrètement quand vous avez tracé la parabole à la calculatrice, est-ce que la parabole coupait l'axe des abscisses ? Que peut-on en déduire ?
Au passage, quel est le lien avec la fonction h : quel est l'ensemble de définition de h, ou autrement dit, pour quels valeurs (éventuelles) de x la fonction h ne serait pas définie ? Et compte tenu de la parabole, que peut-on dire de ces "éventuels x" ?

Il faut utiliser la double distributivité ou la factorisation ? Mais si je simplifie, je trouve pour numérateur : -8x² - 8x + 6

La "double distributivité" est un concept inventé pour les collégiens pour les aider à développer (a+b)(c+d), mais en fait ça n'existe pas : c'est la distributivité tout court. A part cela, vous vous posez la question mais vous développez (donc utilisez la distributivité). Mais pouvait-on factoriser ? Y a-t-il un facteur commun, une identité remarquable ? Apparemment non, donc développer était une bonne idée.
Le résultat est correct.
La question posée est de montrer que c'est égal à -2(2x+3)(2x-1), puisque le dénominateur que vous avez trouvé est le même que celui de l'expression donnée dans l'énoncé. Comment peut-on faire ? (là encore, pas beaucoup de solution : pour montrer que pour tout x, A(x)=B(x) en général soit on factorise et on espère avoir les mêmes facteurs à gauche et à droite, soit on développe et on espère avoir les mêmes termes à gauche et à droite. Donc ici, vous allez tenter de factoriser votre expression ou de développer l'expression de l'énoncé ?)

Pour la c) le cours de seconde auquel je faisais référence n'est pas celui du tableau de variations (puisque justement, on va utiliser la dérivée), mais celui du tableau de signes. Puisque si sur un intervalle donné la dérivée est positive, alors la fonction est croissante (ça c'est du cours de première), il faut étudier le signe de la dérivée.
Et comment fait-on un tableau de signes (ça c'est le cours de seconde) ? Certainement pas à partir de la courbe ! Par contre

il faut résoudre l'équation pour f'(x) strictement supérieure à 0 ?
et f'(x) strictement inférieure à 0 ?

oui c'st exactement cela et c'est le tableau de signes qui vous donnera les réponses.

[Heloise812]

Pour la parabole, non elle ne coupait pas l'axe des abscisses. L'ensemble de définition est ]-∞;+∞[ ?

Je vais factoriser mon expression ? Pour voir si je trouve la même que l'énoncé ?

Le tableau de signe se fait en fonction du coefficient directeur ?
Il faut donc résoudre les équations ou non ?

[hdci]

Pour la parabole, non elle ne coupait pas l'axe des abscisses. L'ensemble de définition est ]-∞;+∞[ ?

De quel ensemble de définition parlez-vous ? Je n'arrive pas à suivre ce que vous dîtes.
Répondez précisément à cette question : à quelle condition la fonction f est-elle définie. C'est un réflexe que vous devez avoir en première spécialité (un réflexe que vous devriez avoir depuis au moins la 4ème, depuis que vous faites des fractions).
Ensuite, répondez à la question suivante : pourquoi la parabole montre graphiquement que f est bien définie pour tout réel ? (rappelons qu'elle ne rencontre pas l'axe des abscisses).

Je vais factoriser mon expression ? Pour voir si je trouve la même que l'énoncé ?

Qu'est-ce qui est le plus facile à faire : factoriser l'expression que vous avez trouvée, ou développer l'expression donnée dans l'énoncé ?

Le tableau de signe se fait en fonction du coefficient directeur ?

C'est quoi, un coefficient directeur ? Dans le cas général cela n'a pas de sens.
Prenons un cas simple : si A(x)=(x-1)(x-2), savez-vous faire le tableau de signe de A(x) ?

[Heloise812]

A quelle condition la fonction f est-elle définie ? Elle est définie à partir des images de x ?

Pourquoi la parabole montre graphiquement que f est bien définie pour tout réel ? (rappelons qu'elle ne rencontre pas l'axe des abscisses). Parce que toutes ses images sont positives étant donné qu'elle ne rencontre pas l'axe des abscisses ?

Le plus facile à faire est de développer l'expression donnée dans l'énoncé

On fait le tableau de signe à partir des intervalles ? Si f est croissante alors c'est
+ si elle est décroissante c'est - ? Ou bien il faut trouver en quoi -2(2x+3)(2x-1) s'annule en faisant une équation ? Le chiffre qu'on trouvera sera le coefficient directeur ?

Ici avec A(x)=(x-1)(x-2) on fait x - 1 = 0 et x - 2 = 0
x = 1 et x = 2

donc ( je ne sais pas comment faire un tableau ici ) on a un tableau avec ]-∞;1[ -> négatif avec 1=0 puis sur ]1;2[ --> positif avec 2=0 et sur ]2;+∞[ --> positif

[hdci]

A quelle condition la fonction f est-elle définie ? Elle est définie à partir des images de x ?

Vous ne semblez pas bien comprendre, ni percevoir ce qu'est un ensemble de définition.

Quel est l'ensemble de définition de la fonction ? Pourquoi ? Quel est le "réflexe" que vous devriez avoir depuis la 4ème pour savoir répondre à cette question ?
Quel est l'ensemble de définition de la fonction ? Pourquoi ? a-t-il une image par cette fonction ? a-t-il une image par cette fonction ?

Déterminer l'ensemble de définition, c'est déterminer l'ensemble des réels x qui ont une image par cette la fonction. C'est donc déterminer l'ensemble des réels x pour lesquels on est capable d'appliquer la formule indiquée.
Quand on est en face d'une fraction, dans quel cas ne peut-on pas calculer la fraction ?

Le plus facile à faire est de développer l'expression donnée dans l'énoncé

En l'occurrence ici, oui, il est beaucoup plus simple de développer l'expression de l'énoncé. L'avez-vous fait ?

On fait le tableau de signe à partir des intervalles ? Si f est croissante alors c'est
+ si elle est décroissante c'est - ? Ou bien il faut trouver en quoi -2(2x+3)(2x-1) s'annule en faisant une équation ? Le chiffre qu'on trouvera sera le coefficient directeur ?

Que de confusion !

Qu'est-ce qu'un coefficient directeur ? Personnellement je ne sais pas. Je sais ce qu'est le coefficient directeur d'une droite non verticale, mais "un coefficient directeur" tout court ?
Quel est le rapport ici ? Probablement aucun.
au passage, un "chiffre", c'est un caractère qui sert à écrire des nombres. Tout comme une "lettre" est un caractère qui sert à écrire des mots.
Quel est la relation entre la croissance et le signe d'une fonction ? ABSOLUMENT AUCUN. La fontion peut avoir des images positives et être décroissante ou croissante, elle peut avoir des images négatives et être croissante ou décroissante. Ne confondez pas avec le signe de la dérivée !
Le signe, c'est le signe d'un nombre (positif ou négatif) donc c'est le signe de . Par abus de langage on parle du "signe de la fonction", mais c'est en fait "le signe des images par la fonction" qu'il faudrait systématiquement dire. La croissance / décroissance, ce sont les variations de la fonction. Un nombre n'est ni croissant ni décroissant, donc , qui est positif ou négatif, n'est par contre ni croissant ni décroissant

Donc oui, il y a une question d'intervalles : on cherche les intervalles sur lesquels les images sont positives ou sont négatives.
Quand on a une expression qui est factorisée en , et où on sait identifier précisément les signes de chacun des facteurs, on fait un tableau de signes.
En ligne, chaque facteur (plus une première ligne qui représente la variable x).
En colonne, les différents découpages de IR par intervalles, pour chaque intervalle on sait dire le signe de chaque facteur.
Puis la ligne "A(x)" où on applique la règle du "plus par moins" etc.

Exemple : tableau de signes de A(x)=(x-1)(x-2) : cela fait un tableau à 4 lignes :

• une pour x,
• une pour le signe de (x-1)
• une pour le signe de (x-2)
• l dernière pour le signe de A(x)

x va de moins l'infini à plus l'infini, et on sait que x-1>0 ssi x>1, et x-2>0 ssi x>2, donc cela fera 3 colonnes

• une colonne pour x allant de moins l'infini à 1
• une colonne pour x allant de 1 à 2
• une colonne pour x allant de 2 à plus l'infini

Dans la première colonne, (x-1) est négatif on place "-" dans la case correspondante, pareil pour (x-2). Dans la seconde colonne, (x-1) est positif on place "-" dans la case, mais (x-2) est négatif il y aura "-" dans sa case. Etc.
Et alors pour A(x), dans la case de la première colonne, il y a deux signes "-" au-dessus le résultat est "+".

C'est ce que vous devez faire pour étudier le signe de la dérivée.
Parce qu'après, vous avez vu en cours que si la dérivée est positive sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle, (etc.).

[Heloise812]

En effet, je mélange un peu tout...

Quand on est en face d'une fraction, dans quel cas ne peut-on pas calculer la fraction ?
Je ne vois pas... Je ne sais pas du tout répondre à vos questions...

Pour le développement de l'expression de l'énoncé cela donne : -2 ( 2x + 3) x ( 2x - 1)
= ( - 4x - 6 ) x ( 2x - 1 )
= - 8x² + 4x - 12x + 6
= -8x² - 8x + 6
Donc, pour tout x $$\in \R $$ f'(x)= (ce qu'on a trouvé)

Le professeur nous a alors probablement mal expliqué.
Ah d'accord !

Merci beaucoup pour votre explication sur le tableau de signe, c'est beaucoup plus clair dans mon esprit !

Pour étudier le signe de la dérivée il y aura donc en lignes :
x
f(x) = 2x + 1
f(x) = 4x² + 4x + 5
f'(x) = -2(2x + 3) ( 2x - 1 )
f'(x) = (4x² + 4x + 5 )²

Comment trouver les intervalles ici ? En faisant les équations de chacune des expressions = 0 ?

[hdci]

Soit alors la fraction .

Pouvez vous calculer ?

Soit la fraction

Pouvez-vous calculer F(1) ? F(-1) ?

Bref : dans quel cas ne peut-on pas calculer ?

Pour la fin ;: attention de ne pas mettre f(x) partout, car f(x) a une définition très très précise, donc f(x)=2x+1 et en-dessous f(x)= autre chose, ce n'est pas possible. Oubliez f(x), vous ne mettrez f(x) que pour le produit final.
Ensuite, pour le tableau de signe, ce n'est que la dérivée. Puisque , combien avez-vous de facteur au total ? chaque facteur sera sur une ligne (plus la ligne des x en titre, et la ligne du produit final en dernière ligne).

Et effectivement, il faut identifier pour chaque facteur à quel moment il change de signe , par exemple 2x-1 change de signe pour x=1/2, donc on indiquera le signe avant et le signe après.

[Heloise812]

On ne peut pas calculer F(0).

Pouvez-vous calculer F(1) ? F(-1) ? On ne peut pas non plus

Bref : dans quel cas ne peut-on pas calculer ? Lorsque le nombre n'est pas réel ?

Merci pour l'aide sur le tableau de variation et de signe.
Je finis le DM ce soir car le grand 2. je l'ai compris.

Pourrais-je vous envoyer les réponses ?

[hdci]

On ne peut pas calculer F(0).

Pouvez-vous calculer F(1) ? F(-1) ? On ne peut pas non plus

Bref : dans quel cas ne peut-on pas calculer ? Lorsque le nombre n'est pas réel ?

Vous navez pas vraiment répondu. Pourquoi ne peut-on pas calculer F(0) ? Pourquoi ne peut-on pas calculer F(1) ni F(-1) dans le second cas ? (Dans tous les cas, 0, 1 et -1sont des nombres réels).