Coefficients d'une équation cartésienne du plan P

[NoMathsLand]

Bonjour,

Lors d'un DM WIMS j'ai eu l'exercice suivant :

Soient s et t deux paramètres réels. On se donne la paramétrisation d'un plan P donné par les trois équations suivantes :
x = 5t +2
y = 20t + 18s +4
z = 3s +2.
Déterminez les coefficients a, b, c de l'équation cartésienne du plan ax + by + cz + 16 = 0.

J'ai beau cherché je ne vois pas comment résoudre ce problème. Est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer la marche à suivre s'il vous plaît ?

(Je m'excuse si le sujet n'est pas très parlant c'est la première fois que je poste sur un forum.)

[lyceen95]

Est-ce que tu comprends la 'philosophie' de la question ?
D'où on vient, et où on va , et pourquoi on a le droit d'aller dans cette direction ?

La philosophie, la nature de la question, c'est essentiel.
Ensuite il y a les calculs.
Mais pour comprendre les calculs, il faut comprendre la nature de la question.

[NoMathsLand]

Non je suis pas sûre d'avoir compris la "philosophie" de la question.
Mais si j'ai bien compris il faut faire un système avec les trois équations qui donnerait :
5t + 0 s +2 = x
20t + 18s + 4 = y
0t + 3s + 2 = z
Et à partir de là il faut résoudre dans un premier temps le système paramétrique ce qui permettra de trouver a, b et c.

[lyceen95]

Non.
Dans le système que tu écris, je pense que les inconnues sont s et t ? ( c'est toujours utile de poser NOIR SUR BLANC les choses : tu dis que tu fais un système avec ces équations, mais tu ne dis pas qui sont les inconnues ; si tu avais écrit noir sur blanc que les inconnues étaient s et t, tu aurais vu que ce n'était pas cohérent) .
2 inconnues pour 3 équations, plus d'équations que d'inconnues, ce n'est pas """équilibré""".

Recommençons.
On donne l'équation paramétrique d'un plan. Je préfère ce mot là à paramétrisation.
Ca veut dire quoi ?
Ca veut dire que pour chaque couple (s,t), on obtient un nouveau point du plan.
Par exemple, si s=0 et t=0, ça nous dit que le point (2,4,2) appartient à notre plan. Ou encore que notre plan passe par ce point.

Peux-tu donner quelques autres points de ce plan ?
Peux-tu ensuite faire le lien avec la suite de l'exercice : Comment on va raccrocher les wagons avec ax+by+cz+16=0 ?
Quelles équations on va poser, avec quelles inconnues ?

[NoMathsLand]

Du coup si s = 1 et t = 0 on a le point (2, 22, 5) qui appartient au plan et si s = 1 et t = 1 on aura le point (7 , 42, 5).

Pour trouver ax + by +cz + 16 = 0 il va falloir trouver les valeurs de s et de t afin d'obtenir les coordonnées x, y, z de la droite passant par le plan ?

Donc nos inconnues vont être s et t avec deux équations. Mais là je pense pas voir lesquelles du coup j'aurai dit :
5t + 3s = -4
20t + 18s = -4
Et donc s = -4/3 et t = 0?

[lyceen95]

Je recopie la question de l'énoncé :
Déterminez les coefficients a, b, c bla bla bla ...
Est-ce que tu as déterminé a,b et c ?

Je réexplique la 'philosophie :
Au début, on définit un plan p.
Ce plan est défini avec les 3 équations paramétriques, avec s et t.
On a trouvé 3 points de ce plan (j'ai vérifié, ils sont corrects)
As-tu essayé de dessiner ces points. Un dessin, c'est toujours utile.

Et juste pour bien se convaincre que ces 3 équations paramétriques définissent un plan ...
Quand on choisit une valeur précise de s, par exemple s=0, ou s=1 ... les points qu'on obtient quand on choisit différentes valeurs de t donnent des points alignés (une droite) ; si je choisis une autre valeur de s, pareil, en faisant varier t, j'obtiens une nouvelle droite parallèle à la première.
Et en inversant le rôle de s et t, pareil. Si je choisis une valeur de t bien précise, et que je prends plein de valeurs de s, je trouve plein de points, tous alignés sur une droite.
Toutes ces droites forment en quelque sorte un grillage.
Un grillage ... quand je me limite aux valeurs de s ou t entières
Un plan quand je prends toutes les valeurs de s ou t.

Notre plan, on a identifié 3 points de ce plan.
Notre plan, on veut lui trouver une équation de la forme ax+by+cz+16=0.
Comment traduire en équations le fait que les 3 points identifiés plu haut appartiennent au plan ?

Je souligne, parce que toute la réponse à l'exercice est dans cette ligne.

[NoMathsLand]

Ah ça y est je crois que j'ai compris !

Je prends l'équation du plan et je change les x, y, z par les coordonnées des points qu'on a trouvé qui appartiennent au plan P ce qui donne :
2a + 4b + 2c = -16
2a + 22b +5c = -16
7a + 42b +5c = -16

Et à partir de là je peux utiliser par exemple l'algorithme de Gauss (ou la méthode de Cramer) pour trouver les valeurs de a, b et c.

Et lorsque je fais ça (avec l'algorithme de Gauss) je trouve a = -4, b = 1 et c = -6

Ce qui est bien le résultat attendu par l'exercice. Merci beaucoup pour votre aide (désolée si je vous ai fais désespéré je suis très lente à comprendre des choses qui peuvent sembler évidentes).

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Puisque tu es arrivée au bout, je peux t'indiquer une méthode alternative. Elle consiste à partir du système que tu as écrit

5t + 0 s +2 = x
20t + 18s + 4 = y
0t + 3s + 2 = z

et de faire des opérations sur les lignes pour éliminer les paramètres s et t au moyen du pivot de Gauss.
Allez, je commence : je me sers du coefficient 5 de t dans la première équation comme pivot et je fais donc L2-4L1 pour obtenir
5t + 0 s +2 = x
0t +18s -4 = y-4x
0t +3s +2 =z
Il reste à éliminer s entre les deux dernières équations ci-dessus. Je te laisse fairte.

[Carpate]

Bonjour,
Vu la forme des équations (1) et (3), la méthode de substitution est encore plus directe :
(1) fournit
(3) fournit , valeurs que l'on porte dans (2) :

pour obtenir l'équation cartésienne du plan :

[GaBuZoMeu]

Tellement direct que tu t'es planté !