Résolution d'équation de n-ième degré

[Barfry34]

Bonsoir à tous,
mon professeur de maths nous a donné un exercice qu'on doit résoudre à l'oral, pour nous entraîner au grand oral. Si je suis ici, c'est que vous l'auriez deviné, je n'arrive pas à résoudre ce problème :
c'est une question assez ouverte, mais quand même à laquelle il est difficile de répondre. La voici :
Pour tout entier n>=1, on note Pn le polynôme Pn(x)=x^n+1 -2x^n + 1
Démontrer que l'équation Pn(x)=0 admet une solution comprise entre 2n/n+1 et 2
merci d'avance pour votre aide

[hdci]

Bonjour,

Vous aurez remarqué que la question n'est pas de résoudre l'équation, mais de démontrer qu'il y a une solution. Donc on ne va pas chercher à savoir quelle est cette solution (remarque : au passage, on voit que 1 est solution... c'est quelque chose que vous pouvez acquérir en réflexe, vérifier si 0, 1 ou -1 serait solution, "par hasard". Mais ici cela ne nous sert pas car 2n/(n+1) est supérieur à 1 dès que n est strictement plus grand que 1)

Qu'est-ce que vous avez vu cette année, qui permette de dire qu'il y a une solution (puis que cette solution est unique) ? Deux théorèmes extrêmement important, ayant trait à la continuité...

[mathelot]

bonsoir,
on peut calculer et .
Monter qu'ils sont de signes opposés.

Deux réels a et b sont de signes opposés si ab <0