Espaces vectoriels normés : compacts

[InsecteSinge]

Bonsoir je suis en L2 de mathématiques , je n'arrive pas du tout à résoudre cet exercice sachant qu'il est théorique et que nous n'avons pas étudié les compacts en cours. Je bloque dès la première question. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ? Merci d'avance.

Exercice : On dit qu'une partie de Rd est compacte si elle est fermée et bornée. On travaillera d'abord avec la
norme ||x||∞ = max_1≤i≤d |x_i|.

1) Vérifier que si N est une norme équivalente à || ||∞ les compacts pour || ||∞ et N coïncident.

2) Montrer que si (x^n) est une suite de [−R, R]^d alors il existe une sous-suite (x^(ϕ1(n))),
ϕ1 : N → N strictement croissante, telle que la première composante x1^(ϕ1(n)) converge dans [−R, R] , lim_n→∞ x1^(ϕ1(n)) = l1 ∈ [−R, R] .

3) En faisant une récurrence sur j ∈ {1, . . . , d} montrer qu'il existe une sous-suite (x^(ϕ1(n))),
ϕ = ϕd ◦ . . . ◦ ϕ1(n), telle que pour tout j ∈ {1, . . . , d} lim_n→∞ xj^(ϕ(n)) = lj ∈ [−R, R] .

4) Déduire des questions précédentes, que pour tout compact K de (Rd, || ||∞) et pour toute suite (x^n) de K, on peut extraire une sous-suite (x^nk )_k∈N qui converge dans K .

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Saute la question 1 et traite les questions 2,3,4. Là, tu es très étroitement guidé.

[InsecteSinge]

D'accord ca marche, mais vous n'avez pas d'idée pour la question 1 ? Elle est aussi dure que ca ?

[GaBuZoMeu]

Non, pas si dure que ça, mais comme elle est disjointe des suivantes et que les suivantes sont plus guidées ...