Convexité

[mathstspe]

Bonsoir je rencontre des difficultés face au deux questions de l'exercice suivant pouvez vous m'éclairez sur le raisonnement merci d'avance
n est un nombre entier naturel non nul et a1, a2, …, an sont n nombres d’un intervalle I.
On note Pn la propriété f((a1+a2+...+an)/n) < (f(a1)+f(a2)+...+f(an))/n
1. a. Démontrer que, si f est une fonction convexe sur un intervalle I, alors pour tous nombres a, b, c et d de I : f((a+b+c+d)/4) <( f(a)+f(b)+f(c)+f(d))/4

Autrement dit, si P2 est vraie, alors P4 est vraie aussi.
b. En utilisant le même raisonnement, démontrer que si Pn est vraie alors P2n est vraie aussi.
comme indication nous avons: utiliser l'inégalité de convéxité f((x+y)/2) <( f(x)+f(y))/2
pour x et y bien choisis.

[hdci]

Bonjour,

Il n'y a que le dernier terme qui est divisé par n ? Quelles sont les priorités des opérations ?

[mathstspe]

bonjour non tout les termes sont divisé par n, j'ai oublié de mettre les parenthèse
, on a : f((a1+a2+...+an)/n) < (f(a1)+f(a2)+...+f(an))/n et montrer que : f((a+b+c+d)/4) <( f(a)+f(b)+f(c)+f(d))/4
je pense qu'il faut utiliser l'inégalité des fonction convexe qui est f((x+y)/2))<(f(x)+f(y))/2, mais le dénominateur me pose problème comment on passe de 2 à 4?

[hdci]

Peut-on écrire ceci ?

[mathstspe]

Si, du coup d'après la formule f((x+y)/2))<(f(x)+f(y))/2 avec x= a+b et y= c+d
on pourra a déduire que f( ( (a+b)/2 + ( c+d)/2 ) /2 ) < ( f((a+b)/2) + f((c+d)/2)) /2
de plus on sait que f( (a+b) /2)) < ( f(a)+f(b) )/2 de même pour c+d
on obtient au final 1/2( f( (a+b+c+d)/2) )< 1/2( (f(a)+f(b))/2 + (f(c)+f(d))/2 )
puis on distribue le 1/2 fin d'obtenir 4 au niveau du dénominateur
est-ce juste?

[hdci]

Oui c'est cela.
Il n'y a plus qu'à dérouler la "récurrence" (qui n'est pas vraiment une récurrence, car on ne passe pas de n à n+1...)

[mathstspe]

d'accord merci.
du coup il faudra partir de la formule suivante f((a1+a2+...+an)/n) < (f(a1)+f(a2)+...+f(an))/n
et multiplier par 1/n se qui nous donnera f((a1+a2+...+a2n)/2n) < (f(a1)+f(a2)+...+f(a2n))/2n ?

[hdci]

Euh non. Relisez bien ce que l'énoncé vous demande.
Et si vous ne "voyez pas bien", faites-le pas à pas : vous avez déjà le passage de 2 à 4, passez donc de 4 à 8 comme on l'a fait pour 2 à 4.

[mathstspe]

du coup on pose (a1+...+an+...+a2n)/2 = ((a1+...+an)/2 + ( an+1+...+a2n)/2 ) /n

donc f( ( (a1+...+an)/2 + ( an+1+...+a2n)/2 ) /n ) < ( f((a1+...+an)/2) + f((an+1+...+a2n)/2)) /n
et on a f( (a1+...+an) /2)) < ( f(a1)+...+f(an) )/2 de même pour an+1+...+a2n
alors 1/n( f( (a1+...+an+...+a2n)/2) )< 1/n( (f(a1)+...+f(an))/2 + (f(an+1)+...+f(a2n))/2 )
pour finir on distribue le 1/n pour obtenir 2n au niveau du dénominateur.
c'est juste ?

[hdci]

Oui !