Exercice en Maths

[Gauthier56]

Bonjour,

Énoncé de l'exercice (je suis en première spécialité maths )

Soit F la fonction définie par f(x) = x²/x2-x+1

1) justifier que f est définie sur R
2) montrer que pour, tout réel x, 0<=f(x)<2

1) f(x) est un quotient alors on doit avoir :
x²-x+1 différent de 0
Je résouds cette équation du second degré
(-1)²-4x1x1
= 1 - 4
= -3
-3<0, l'équation n'adment donc aucune solution donc le domaine de définition est R

A propos de la question 2, je n'y arrive pas ...J'aurai besoins d'aide si possible. Merci d'avance !!

Merci beaucoup,
Gauthier

[Rdvn]

Bonjour
ATTENTION AUX PARENTHÈSES , puisque vous ne pouvez pas écrire la fraction :
f(x) = x^2/(x^2 - x + 1)
Vous avez calculé delta = -3 , qui est donc négatif ,
une propriété du cours vous dit que , puisque delta est négatif, x^2 - x+1 ne s'annule pas et de plus que, pour tout x réel, x^2-x+1est du signe de a, ici a=1.
Inégalité de gauche : immédiat avec ci dessus...
Inégalité de droite
f(x)<2 est équivalent à f(x)-2<0
Proposez vos essais, bon courage

[Gauthier56]

Merci de m'avoir aidé, mais en proposant mes idées je suis un peu confus !
Après avoir remarqué la propriété puis ensuite les inégalités, je ne sais pas comment prouver que f(x) est supérieur ou égal à 0 et inférieur à 2 ?

Bonne journée! Merci pour votre patiente !

[Rdvn]

Tout de même pour l'inégalité de gauche, ce n'est pas la mer à boire :
pour tout réel x on a
x^2>ou=0
et
x^2 - x+1>0 (propriété rappelée, delta négatif)
donc ...

inégalité de droite, déjà dit :
f(x)<2 est équivalent à f(x)-2<0
il faut réduire au même dénominateur pour obtenir
f(x)-2=P(x)/(x^2 - x + 1) où P(x) est un polynôme, à calculer , puis à nouveau delta...
Proposez vos essais

[Gauthier56]

Bonsoir, Gauthier

A propos du nouveau polynôme à calculer. Comment le trouver ?
Car on n'observe pas de deuxième d'équation du second degré

Merci d'avance ! Excusez moi de vous déranger !

[hdci]

Bonjour,

La seconde question, c'est si je la réécris proprement : montrer que



Certes, il n'y a pas directement d'équation du second degré ici.

Mais enfin : quand on a une fraction dans une inégalité, et qu'on veut manipuler pour qu'il n'y ait plus de dénominateur, quelle opération simple fait-on ?
(En se souvenant que quand on multiplie une inégalité par une expression, il faut faire attention au signe de cette expression).

[Rdvn]

Je pense qu'en première les élèves sont plutôt orientés vers la solution "dresser un tableau de signes"
car ils maitrisent mal les cas où le dénominateur change de signe (ce qui n'est pas le cas ici, mais...)
Lors de ma première réponse j'avais opté pour cette solution, "classique"
f(x)<2 est équivalent à f(x)-2<0 (c'est clair : on retranche 2 de chaque coté de l'inégalité)
il faut réduire au même dénominateur pour obtenir f(x)-2=P(x)/(x^2 - x + 1)
où P(x) est un polynôme, A CALCULER , et c'est à ce moment qu'on se rend compte que P(x) est un polynôme
du second degré

[Gauthier56]

Bonsoir, Gauthier

Je suis sincèrement désolé mais je ne comprend toujours pas d'où vient le P(x) et comment grâce à cela on pourra prouver la question 2. De plus mon devoir est à rendre depuis 2 jours mais je bloque clairement à la question 2.
Vous pourrez juste plus détaillé les calculs et la manière de procédé svp

Merci d'avance ! Merci de votre patiente !

[hdci]

On vous demande de prouver que 0<=f(x)<=2.

Ne savez-vous pas justifier que ? Un tableau de signes peut-être ?

Pour l'autre inégalité : on vous a indiqué de montrer f(x)-2<=0.
Ne savez-vous pas mettre au même dénominateur ceci ?


Le P(x) dont parle Rdvn, c'est ce qu'il y aura au numérateur après mise au même dénominateur.

[Gauthier56]

Bonsoir,Gauthier

Pour l'autre inégalité au même dénominateur, non je ne sais pas... Je ne sais pas comment y procéder.

Merci d'avance ! Merci de votre patience

[hdci]

Vous avez forcément appris la mise au même dénominateur au collège.

Comment calcule-t-on


On écrit



Vous faites pareil en remplaçant le -1 par -2 , et le 10 du numérateur par x²-x+1.

En 1ère spécialité maths, vous ne devez pas ne pas savoir faire cela ; c'est du ressort de l'automatisme, je vous recommande de multiplier des petits exercices de calcul fractionnaire en mode numérique puis algébrique, sinon vous ne réussirez pas votre spécialité.

[Gauthier56]

Bonsoir, Gauthier

Excusez moi de vous mais auriez-vous les réponses de la question 2 si possible( si vous voulez pas au moins quelques pistes ) . Je trouve ça insurmontable selon moi. De plus notre prof nous note sur cette exercice alors que nous avons jamais vu cela.

Cordialement !

[Gauthier56]

Lorsque j'essaie de mettre au même dénominateur j'obtient -1 mais à partir de la je ne comprend point.
Le résultat est t-il bon et à partir de là le résultat me permet de faire quoi ?

[hdci]

Ecrivez en détail ce que vous faite pour mettre au même dénominateur. Il ne sert à rien de dire si c'est bon ou pas, ce qui compte c'est la façon d'y arriver. Si c'est bon mais que vous y arrivez par un moyen "illégal", c'est incorrect, et si ce n'est pas bon, il faut comprendre pourquoi vous arrivez à ce résultat.

D'ailleurs, au passage : vous obtenez -1 où ? Au numérateur, au dénominateur, au total ? Vous devez faire l'effort d'être plus rigoureux dans vos propos.

[Rdvn]

Considérons qu'un effort a été fait, admettons une accumulation d'énormes lacunes.
Mais, comme vous le conseille hdci, retravaillez vos bases sur les fractions, il vous a donné un exemple numérique pour "repartir" , A REVOIR !
ici ça devient:
x^2/(x^2-x+1) - 2 = x^2/(x^2-x+1) - 2(x^2-x+1) /(x^2-x+1) , les deux fractions sont à présent au même dénominateur,
on effectue( on utilise A/D - B/D = (A-B)/D )
x^2/(x^2-x+1) - 2 = ( x^2 - 2(x^2-x+1) ) /(x^2-x+1) = (x^2-2x^2+2x-2) /(x^2-x+1) =
(-x^2+2x-2) /(x^2-x+1)
En résumé:
f(x)-2 = x^2/(x^2-x+1) - 2 = (-x^2+2x-2) /(x^2-x+1)
Déjà expliqué : f(x)<2 est équivalent à f(x)-2<0 donc à (-x^2+2x-2) /(x^2-x+1)<0
A présent vous pouvez calculer delta pour -x^2+2x-2, et conclure par un tableau de signes , sachant déjà que x^2-x+1 est toujours strictement positif.
A vous à présent