Base d'un espace vectoriel

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Nthnazzzz
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Base d'un espace vectoriel

par Nthnazzzz » 03 Mar 2021, 21:13

J'ai une question concernant les bases d'un espace vectoriel.
La définition d'une base d'un EV est la suivante :
Soit B une base d'un espace vectoriel E ssi ∀ v ∈ à E peut s'écrire de façon unique en tant que combinaison linéaire des vecteurs de la base.
Prenons comme exemple R²,
Soit les vecteurs u1(1,0) u2(0,1) u3 (1,2)
∀ u ∈ E et λ1,λ2,λ3 ∈ R,
u peut s'écrire : u= u1λ1+u2λ2+u3λ3 n'est ce pas (par exemple en posant λ3=0 à chaque fois) ?
Soit B={u1,u2,u3}
La base B est composée de 3 vecteurs alors que l'espace est de dimension 2 ce qui n'est pas possible il me semble.
Quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi cette base est fausse avec des mots simples merci d'avance !



Nthnazzzz
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Re: Base d'un espace vectoriel

par Nthnazzzz » 03 Mar 2021, 21:13

∀ u ∈ R² pardon

Vassillia

Re: Base d'un espace vectoriel

par Vassillia » 03 Mar 2021, 21:17

Bonjour, cette base est fausse car donc les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants or c’est une condition nécessaire pour former une base.

Nthnazzzz
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Re: Base d'un espace vectoriel

par Nthnazzzz » 03 Mar 2021, 21:22

Vassillia a écrit:Bonjour, cette base est fausse car donc les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants or c’est une condition nécessaire pour former une base.

Mais est-il possible de trouver un vecteur u3 qui ne s'écrit pas comme combinaison linéaire de u1 et u 2 ?

Vassillia

Re: Base d'un espace vectoriel

par Vassillia » 03 Mar 2021, 21:27

Et bien non justement car quelque soit le vecteur on pourra toujours l'écrire sous la forme . Ce qui prouve que et engendrent bien l'espace vectoriel.
C'est d'ailleurs parfaitement logique que 2 vecteurs linéairement indépendants suffisent à faire une base pour un espace vectoriel de dimension 2.

hdci
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Re: Base d'un espace vectoriel

par hdci » 03 Mar 2021, 21:41

Bonjour,
Pour synthétiser : une base est un système libre et générateur :

Générateur, on peut atteindre n'importe quel vecteur par combinaison linéaire du système.
Libre : aucun des vecteurs du système n'est combinaison linéaire des autres.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

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mathelot
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Re: Base d'un espace vectoriel

par mathelot » 03 Mar 2021, 23:15

En dimension finie,on peut démarrer avec une famille de vecteurs génératrice
de l'espace vectoriel .
On retire un vecteur de cette famille, disons .
1)Soit la famille continue d'être génératrice de E
2) soit la famille cesse d'être génératrice. Dans ces cas là, G est une base de E.
Une base est donc une partie génératrice minimale (dès que l'on enlève un vecteur,
elle cesse d'être génératrice)
Si on a la condition 1, on continue en enlevant un vecteur à nouveau.

On peut démarrer également avec une famille de vecteurs libre
de l'espace vectoriel E.
On ajoute un vecteur à cette famille, disons .
1)Soit la famille continue d'être libre
2) soit la famille cesse d'être libre. Dans ces cas là, L est une base de E.
Une base est donc une famille libre maximale. Dès que l'on rajoute un vecteur
, elle cesse d'être libre)
Si on a la condition 1, on continue en rajoutant à L un vecteur à nouveau.

En dimension infinie, on a toujours le fait qu'une base est une famille libre maximale
et une famille génératrice minimale.

 

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