Probabilité

[stephsay]

Bonjour à tous,

Je suis bloquée sur une question d'une exercice, si quelqu'un pourrait éventuellement m'aider ? Merci par avance

On tire 18 premières cartes d'un jeu de 32 cartes.
Quel est l'espace probabilisé associé à cette expérience ?

Voici ma réponse:
oméga = {1,2,..,32} et sa mesure uniforme est P(E)=card(E)/card(oméga) où P({w})=1/32 (mais j'hésite avec 18/32) pour tout w appartenant à oméga.

Je remercie par avance les personnes qui pourraient m'éclairer davantage.

[hdci]

Bonjour,

Si le jeu était de tirer une carte, ce serait exact en supposant l'expérience équiprobable (cartes indiscernables, mélangées etc.)

Ici on tire 18 cartes. La mention "18 premières cartes" me semble superflue si on considère que le jeu de cartes est bien mélangé (c'est-à-dire, l'ordre des cartes dans le jeu est aléatoire).

Mais l'énoncé ne précise pas si l'ordre de tirage est important (par exemple as de carreau suivi de roi de pique, esst-ce différent de roi de pique suivi de as de carreau).

On peut dès lors considérer différentes situations :

1) soit l'ordre du tirage n'importe pas (c'est souvent le cas avec les cartes) auquel cas une issue est une "main" de 18 cartes. Le nombre d'issues total est le coefficient binomial "18 dans 32" (cela fait 471 435 600 issues possibles, cardinal de oméga)

2) soit l'ordre du tirage est important (donc la même "main", obtenue dans un ordre différent, compte pour une issue différente) et cela donne un espace probabilisé constitué de listes de 18 cartes ordonnées, ce qui fait alors issues possibles (les 471 mille précédentes multipliées par factorielle de 18), c'està-dire 302 000 milliards de milliards (cardinal de omega)

Quel est l'énoncé exact de l'exercice ? Car avec juste ce qui est indiqué, on ne sait pas dire...


(Remarque : on peut aussi considérer que c'est la répétition d'une même épreuve "tirer une carte", 18 fois, mais "sans remise" ce qui fait que les probabilités changent à chaque fois en fonction des tirages précédents. Mais alors l'espace probabilisé, constitué des 32 cartes, est muni à chaque tirage d'une probabilité différente).

[stephsay]

Bonjour,

Merci d'avoir pris le temps de me répondre.

En ce qui concerne la consigne justement je n'ai que ça en guise de consigne " On tire 18 premières cartes d'un jeu de 32 cartes. "

Du coup je suppose d'après votre réponse que la réponse 1 serait plus judicieuse.

Une des questions suivantes est de calculer la probabilité que la première carte tirée soit un As et le 15ième un Roi

Je ne suis pas certaine de ma réponse, pouvez-vous me dire si c'est correct ?

Ma réponse:
Soit A l'évenement "la premiere carte tirée soit un As"
Soit B l'évenement " la 15ième carte tirée est un Roi"

Vu qu'il y a 4 As dans un jeu de 32 cartes, on a P(A)=4/32=1/8
et par proportionnalité, on peut dire que dans un jeu de 18 cartes, on a 2,25 rois.
En utilisant la formule des probabilités totales, on aurait P(A inter B)= P(A) * P (B sachant A)
Du coup P(B sachant A) = 2,25/18
et P(A inter B) = 1/8 * 2,25/18 = 2,25/144 = 0.0156

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

La question est un peu curieuse. Je ne sais pas exactement ce que signifie "espace probabilisé associé à cette expérience", en tout cas je doute qu'on puisse le définir de manière unique.

Je trouve qu'il n'y a rien à reprocher au fait de considérer comme espace probabilisé l'ensemble de tous les arrangements de 18 cartes parmi les 32, avec équiprobabilité. (Un espace probabilisé, ce n'est pas juste un ensemble, il faut aussi une mesure de probabilité).

Si finalement les événements qui nous intéressent sont les combinaisons de 18 cartes parmi les 32 (sans tenir compte de l'ordre), pas de problème. Ces événements sont des parties de notre espace probabilisé.

[stephsay]

Bonjour GaBuZoMeu,

Merci pour votre réponse.

En guise de réponse, est-ce qu'une réponse comme celle-ci conviendrai ?

Le jeu contient 32 cartes avec 8 cartes par couleurs.
On calcule le nombre total d'évènements possibles oméga.
card (oméga) = ( 18 parmi 32) = 471 435 600
P mesure uniforme sur oméga
On définit les mesures de probabilité suivantes:
Pour tout A inclus dans oméga, P(A) = card(A) / card (oméga)

[GaBuZoMeu]

Une des questions suivantes est de calculer la probabilité que la première carte tirée soit un As et le 15ième un Roi

Tu as ajouté ceci à ton message, semble-t-il.

On discutait entre prendre l'ensemble des arrangements de 18 (l'ordre compte) avec équiprobabilité, ou l'ensemble des combinaisons de 18 (l'ordre ne compte pas) avec équiprobabilité.
Je te disais que prendre les arrangements permettait de rendre compte de plus d'évènements. Par exemple, ça permet de rendre compte de l'évènement "la première carte tirée est un As et le 15ième un Roi", tandis que prendre les combinaisons (ne pas tenir compte de l'ordre) ne permet pas de rendre compte de cet événement.

Ton choix de prendre pour l'ensemble des combinaisons avec équiprobabilité est donc mauvais.
Quant à ton calcul de P(B|A), ça ne va pas.

Pour calculer P(B|A), le n° du tirage n'importe pas. Tout ce qui compte est que c'est un tirage fixé parmi les 18 qu'on fait. Et ce qui compte dans le "sachant que", c'est qu'on sait qu'à un autre tirage (le premier) un as a été tiré.

[stephsay]

Il faudrait donc que je fasse
[(combinaison de 1 parmi 4) * (combinaison de 1 parmi 4)] / (combinaison de 18 parmi 32) = 3.4 * 10 puissance -8 ?

car on prend 1 as parmi les 4 disponibles et de même pour les rois

[lyceen95]

Maintenant, on va faire un autre exercice.
On tire 30 cartes.
Quelle est la probabilité d'avoir un as en 1er, et un roi en 15ème ?

[GaBuZoMeu]

Stephsay, tu as l'air un peu paumé.

Faisons simple, juste du dénombrement. Pour cela, comme je l'ai expliqué on prend pour l'ensemble des arrangements de 18 cartes parmi 32 (avec équiprobabilité).
1°) Quel est le cardinal de ? Combien y a-t-il d'arrangements de 18 parmi 32 ?
2°) Parmi ces arrangements de 18 cartes parmi 32, combien y en a-t-il qui ont un As en première position et un Roi en 15ème position ?
3°) Conclusion : quelle est la probabilité pour qu'en tirant successivement sans remise 18 cartes dans un jeu de 32, la première soit un As et la quinzième un Roi ?

[stephsay]

Oui, effectivement j’ai un peu de mal à vous suivre.

Voici mes réponses:
1) il y a 471 435 600 arrangements de 18 parmi 32 et qui correspond au cardinal de oméga.

2)

3) (combinaison de 1 parmi 4) * (combinaison de 1 parmi 4)* (combinaison de 16 parmi 24) = 11767536
11767536/ 471435600 = 0.024%

[GaBuZoMeu]

Non, ta réponse à la question 1 n'est pas bonne.
Tu ne connais pas la différence entre arrangements et combinaisons ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Arrangement

Et ton calcul pour 2, même en remplaçant "combinaison" par "arrangement", ne va pas.

[hdci]

Attention, comme l'indique GaBuZoMeu, on parle d'arrangements, et pas de combinaison.

En effet une combinaison avec "un as en première position et un roi en 15ème" n'a pas de sens car dans une combinaison, l'ordre n'a pas de sens, donc avoir tiré l'as en 3ème et le roi en 1er, donne (avec les mêmes autres cartes) la même combinaison que l'as en premier et le roi en 15ème. Pourtant l'une des issues est acceptée dans l'événement, pas l'autre.

Il faut donc utiliser les formules des arrangements et pas des combinaisons.

[lyceen95]

Ce qu'il faut, c'est savoir identifier les informations utiles, et celles qui sont là pour nous perturber.

On tire 18 cartes, on les pose alignées sur la table (faces cachées).
On retourne la n°1 et la n°15
Et on regarde si par chance, on a un As en n°1 et un roi en n°15. Quelle est la probabilité d'avoir as et roi ?
On est bien d'acord que la question posée, ou celle-ci , c'est la même.

- Si au lieu de retourner les n°1 et 15, on retournait les n°2 et 6, est-ce que ça changerait quelque chose au résultat ?
- Si au lieu de piocher 18 cartes, on en avait pioché 20, est-ce que ça changerait quelque chose au résultat ?

Quand on a répondu à ces 2 questions, on a déjà énormément avancé.

[stephsay]

Pour répondre à GaBuZoMeu,
je crois que la réponse de la question 1 est A(32;18)= 2.46*10puissance 20
et pour la question 2, vu que l'ordre compte, pour avoir un As en premier : on doit calculer A(4;1) et de même pour la position 15 du roi A(4;1)
Pour la question 3, je ne sais pas vraiment si c'est le produit des réponses des deux questions suivantes..

Pour répondre à lyceen95,
la probabilité d'avoir un as est de 1/4 et de même pour le roi, et pour avoir un as en position 1, il faudrait faire un arrangement A(4;1) et de même pour le roi.
Du coup pour obtenir un as en position 1 et un roi en position 15 il faudrait faire le produit des deux arrangements.

- Si on retourne les cartes numéro deux et six, celà ne changerait pas le résultat des cartes numéro un et quinze
- Si on aurait piocher 20 cartes au lieu de 18, le résultat n'aura pas changé

[GaBuZoMeu]

Ça tourne au n'importe quoi, là.

Moi, j'abandonne.

La réponse à ma question 1 est le nombre d'arrangements de 18 parmi 32, soit .

La réponse à ma question 2 est 4 (le nombre de choix possibles pour l'As du n°1) fois 4 (le nombre de choix possibles pour le Roi du n°15) fois le nombre d'arrangements de 16 parmi 30, qui est (puisqu'il reste 16 places à garnir en tirant parmi les 30 cartes restantes)

La réponse à ma question 3 est le nombre de cas favorables divisé par le nombre total de cas, soit divisé par ce qui fait .

Je pensais que tu pourrais mieux te débrouiller avec le dénombrement (qui semble la méthode attendue vu la question sur le choix du ) qu'avec le raisonnement plus rapide et un peu plus subtil qui consiste à dire qu'on a une chance sur 8 de tirer un As pour la première place et, sachant qu'on a tiré un As, 4 chances sur 31 de tirer un Roi pour la 15e place, ce qui donne également .

[lyceen95]

J'ai un ami, il joue beaucoup au casino et aux jeux de cartes. Son métier, c'est poissonnier ; il est vraiment pas matheux. Il veut connaître la probabilité en question.
Je lui donne quoi comme réponse ? Si je lui dis arrangement de je ne sais pas quoi, il va croire que je me moque de lui.
Dans le monde réel, avec les vrais gens, il faut employer des mots qu'ils comprennent.

Elle vaut combien, cette probabilité ?

[Vassillia]

Bonjour, je vais essayer de détailler la version simple et pourquoi le fait que ce soit la 15ème place, on s'en fiche un peu et il ne faut pas se laisser perturber :

- On va tirer la première carte et la regarder. Il y a 4 as dans le paquet de 32 cartes donc on a une probabilité de 4/32 d’avoir un as.
- Sachant que l’on a réussi donc que la première carte est un as, on tire une nouvelle carte qu’on met directement à la 15ème place face cachée. On continue à tirer les cartes entre la 2ème et la 14ème place face cachée puis on retourne toutes les cartes en respectant l'ordre lié au placement pour se ramener à l’expérience d'origine.

Quand on a tiré notre carte mise à la 15ème place, il y avait encore 4 rois dans le paquet de 31 cartes restantes (32 cartes moins l’as manquant) donc il y avait bien une probabilité de 4/31 d’avoir un roi. Au final, on trouve bien comme expliqué précédemment . J’espère avoir pu t’aider mais j’avoue qu’insister sur l’espace probabilisé me laisse le doute sur la correction voulue par ton professeur. Je comprends tout à fait l’envie de passer par les arrangements même si c’est plus difficile à priori.

@lyceen95 Je fais un peu une allergie dès que je vois les mots « monde réel » et « probabilités » dans une même phrase suite à un traumatisme récent mais sinon je suis d’accord

[GaBuZoMeu]

Bonjour lycéen95,

Je pensais que stephsay était un(e) étudiant(e) du supérieur qui a des exercices à faire avec des structures de groupes, des espaces vectoriels, des polynômes, des espaces probabilisés. Je ne savais pas que c'était un poissonnier qui joue au casino et à qui il est totalement incongru de parler d'arrangements. Désolé.

[lyceen95]

Je parlais du poissonnier, pour l'inciter à calculer les probabilités jusqu'au bout.
Et ensuite, cela lui permettait de vérifier par lui même si son calcul est 'réaliste' ou pas.
Celui qui se trompe et qui donne une réponse de 1/64 pour cette probabilité, c'est pas terrible, mais ce n'est pas ridicule.
Celui qui se trompe et qui donne une réponse comme 0.98 ou 0.0000001, visiblement, il n'a pas réfléchi. Ridicule.
Celui qui donne une probabilité plus grande que 1 : totalement ridicule.

Je voulais donc inciter notre ami à faire le calcul. Déjà, en faisant le calcul, ça l'aurait obligé à exprimer clairement son idée. Parce que les formules qu'il propose sont loin d'être claires.
Et si son calcul donne un nombre plus grand que 1, va-t-il réagir ?