Nombres Complexes

[Bob1sérieux]

Bonjour à tous !
J'aurais besoin d'aide pour cet exo:

Trois points A, B, C d'affixes zA, zB, zC et z=e^(i 2π/3)

Question précédente à laquelle j'ai répondue: Montrer que ABC est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, (zC-zA)/(zB-zA)=-z^2

Question où je bloque: En déduire que ABC est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, a+bz+cz^2=0

Merci d'avance

[Rhaegar]

Bonjour,

à quoi correspond a,b et c ?

[hdci]

Bonjour,

Ben, euh, c'est quoi, a, b et c ?

Car A, B et C sont les points et zA, zB, zC les affixes, mais nulle part on parle de a, b, c. Ne serait-ce pas zA,zB,zC ?

Ensuite, il faut remarquer que 1+z+z²=0 (c'est une racine 3ème de l'unité). En supprimant la fraction de l'égalité, puis en multipliant par z² la nouvelle égalité, vous allez trouver la réponse.

[Bob1sérieux]

Excusez moi a=za
b=zb
c=zc

[hdci]

C'est bien ce que je pensais.

Donc ce que j'ai écrit est correct pour vous aiguiller.

[Bob1sérieux]

Vous avez dit 1+z+z²=0, mais qui nous dit que les affixes sont forcéments égales à 1 ?

[hdci]

, c'est dans l'énoncé.

Donc

et z est une racine 3ème de l'unité.

Donc or

Autre façon de voir, avec les cosinus et sinus, on a d'où

Il n'y a rien à voir avec a, b et c ici puisque z vous est donné numériquement.

Ensuite, je ne dis pas que a,b,c sont égaux à 1. On va utiliser pour montrer que , pour tous les affixes a,b,c correspondant à un triangle équilatéral.

Et pour cela, vous partez de et vous commencez par virer cette fraction (en général les fractions ne font rien d'autre que de nous embêter, à la première occasion on les vire), vous développer un peu et vous vous débrouiller pour avoir en facteur de c (ce qui va revenir à multiplier l'égalité par un certain complexe).

[Bob1sérieux]

Merci beaucoup,

(c-a)/(b-a)=- z^2 donc z^(2)*b-z^(2)*a=-c+a donc z^(2)*bc-z^(2)*ac=-c^(2)+ac donc z^(2)*c*(b-a)=-c^(2)+ac ?

[hdci]

Merci beaucoup,

(c-a)/(b-a)=- z^2 donc z^(2)*b-z^(2)*a=-c+a donc z^(2)*bc-z^(2)*ac=-c^(2)+ac donc z^(2)*c*(b-a)=-c^(2)+ac ?

Pourquoi multipliez-vous par c ici ? Vous faites apparaître des facteurs bc, ac, alors qu'il n'y en a pas dans a+bz+cz²...

Merci beaucoup,

(c-a)/(b-a)=- z^2 donc z^(2)*b-z^(2)*a=-c+a

Ceci est correct. Comme l'égalité demandée est "=0", cela s'écrit aussi c-a+bz²-az²=0

Mais on veut avoir cz² et pas c tout court. Donc on multiplie par... ?

[Bob1sérieux]

donc on obtient z^2(c-a+bz²-az²)=0 ?
soit cz^2-az^2+bz^4-az^4=0
or z^4 = e^(4 * i2π / 3) = e^(i 8π / 3) = e^(i 2π /3 modulo 2π) = z donc cz^2-az^2 + bz-az=0 ?

[hdci]

donc on obtient z^2(c-a+bz²-az²)=0 ?
soit cz^2-az^2+bz^4-az^4=0
or z^4 = e^(4 * i2π / 3) = e^(i 8π / 3) = e^(i 2π /3 modulo 2π) = z donc cz^2-az^2 + bz-az=0 ?

Donc en format "lisible"



Vous voulez avoir



Vous ne voyez pas ce qu'il faut faire ? (remarque, on n'a toujours pas utilisé z²+z+1=0)

[Bob1sérieux]

-a e^(i 2π /3)^2 - a e^(i 2π /3) = -a ( e^(i 4π /3) + e^(i 2π/3) ) = -a (e^(i 6 π /3)) = -a e^(i2π) = -a * -1 = a
donc cz^2-az^2 + bz-az=0 équivaut à a+bz+cz^2=0


merci beaucoup pour votre aide

[hdci]

... Sauf que

-a ( e^(i 4π /3) + e^(i 2π/3) ) = -a (e^(i 6 π /3))

Ceci est faux. Vous semblez avoir écrit et ceci est faux.

De plus

Il faut conserver z, factoriser par a et utiliser 1+z+z²=1 (c'est-à-dire z+z²=...?)

[Bob1sérieux]

[tex] -a \times j-a \times j^{2}=-a \times e^{i \frac{2π}{3}}+a \times e^{i \frac{π}{3}} = -a \cos {\frac{2π}{3}}-ai \sin {\frac{2π}{ 3}} + a \cos { \frac{π}{3}} + a i \sin { \frac{π}{3}} = -a \times (- \frac{1}{2})-ai \frac { \sqrt {3}}{2} + a \times \frac{1}{2}+ai \frac { \sqrt{3}}{2}=\frac{2a}{2} = a [\tex]

-a \times j-a \times j^{2}=-a \times e^{i \frac{2π}{3}}+a \times e^{i \frac{π}{3}} = -a \cos {\frac{2π}{3}}-ai \sin {\frac{2π}{ 3}} + a \cos { \frac{π}{3}} + a i \sin { \frac{π}{3}} = -a \times (- \frac{1}{2})-ai \frac { \sqrt {3}}{2} + a \times \frac{1}{2}+ai \frac { \sqrt{3}}{2}=\frac{2a}{2} = a

[Bob1sérieux]

-aj-aj²=-ae^{i {2π}/{3}} +a e^{i {π}/{3}} = -a cos {{2π}/{3}}-ai sin {{2π}/{ 3}} + a cos{{π}/{3}} + a i sin {{π}/{3}} = -a * (- {1}/{2}) -ai { \sqrt {3}}/{2} + a * 1/2 +ai { sqrt{3}}/{2}={2a}/{2} = a

[hdci]

Oups c'est incompréhensible.

Mais pourquoi cherchez-vous si compliqué ?

Sachant que 1+z+z²=0, cela fait z+z²=-1, donc -az-az²=-a(z+z²)=a tout simplement.

[Bob1sérieux]

ah ok merci beaucoup

[Bob1sérieux]

Pourriez-vous m'aider pour la dernière question de mon exo svp ?

Démontrer que: ABC est équilatéral si et seulement si a²+b²+c²=ab+ac+bc


Merci d'avance

[hdci]

Indications :

1) A partir de cz²+bz+a=0, faites apparaître a²=....

2) Si le triangle ABC est équilatéral direct, que peut-on dire du triangle BCA ? Du triangle CAB ? Par conséquent, utiliser les résultats précédents pour faire apparaître b²=... puis c²=...

3) Si ABC est équilatéral indirect, quel est un triangle équilatéral direct ? Utilisez le résultat précédent pour ce triangle direct.

[Bob1sérieux]

Bonjour

a, b, c sont les affixes des points A, B et C donc je ne vois pas pourquoi exprimer des affixes au carré serait utile.

a² = -acz² - abz ?
b² = - bcz²-ab / z?
c² = - bcz - ac / z² ?

Merci d'avance,