Sismographe

[Soo]

Voici l'énoncé d'un problème sur un sismographe, je bloque à un endroit, et ça m'énerve!

Un sismographe se compose d'un masse M reliée à une ressort de raideur K, de longueur au repos l0. L'extrémité du ressort est attaché en un point fixe du référentiel RL du laboratoire que l'on suppose galiléen. On repère le mouvement du centre de masse M du bloc par son élongation x(t), mesurée à partir de la position d'équilibre de l'ensemble ressort+masse.

1/ Représenter sur un shéma les forces en présence.

Il y a le poids P, dont le vecteur part du centre du solide, a une direction verticale et son sens va du haut vers le bas.
Il y a aussi la tensio du ressort T, qui a les même caractéristiques que le poids, mais dont le sens va vers le haut. Les vecteurs P et T sont de même longueur.

2/ Appliquer le principe fondamental de la dynamique et établir l'équation du mouvement.

D'après la deuxième loi de Newton: P+F=ma (sous forme de vecteurs).
En projetant cette relation sur l'axe (O,J), on a:
mg-K(xt-l0)=ma
Or à l'équilibre mg=Kl0
D'où: ma=-Kxt (1)

3/ Précisez que l'équation du mouvement peut se mettre sous la forme : X''+w0²X=o, préciser w0 en fonction des données du problème. Quelle est la dimension de w0?

L'équation (1) donne aussi:
a+(K/m)xt=0
or a=X''
d'où: X''+ (K/m)X=0
en posant K/m=w0², on a:
X''+w0²X=0

On a donc w0= racine (K/m)

Dimension de w0:
[K]=kg.s-2
[m]= kg
d'où [w0]=kg.s-2/kg=s-2

Ca se complique ici:
4/ La solution de cette équation peut se mettre sous la forme X(t)=AcosBt où A et B sont des constantes positives non nulles. Déterminer B pour que X(t)=AcosBt soit solution de l'équation dufférentielle. On éloigne la masse de sa position d'équilibre d'une quantité d, on a donc à t=0 X(0)=d, à partir de cette condition initiale, dterminer la constante A en fonction des données du problème.
Décrire qualitativement le mouvement de la masse.

Une piste pour cette question 4/?

[Dominique Lefebvre]

3/ Précisez que l'équation du mouvement peut se mettre sous la forme : X''+w0²X=o, préciser w0 en fonction des données du problème. Quelle est la dimension de w0?

(...)

4/ La solution de cette équation peut se mettre sous la forme X(t)=AcosBt où A et B sont des constantes positives non nulles. Déterminer B pour que X(t)=AcosBt soit solution de l'équation dufférentielle. On éloigne la masse de sa position d'équilibre d'une quantité d, on a donc à t=0 X(0)=d, à partir de cette condition initiale, dterminer la constante A en fonction des données du problème.
Décrire qualitativement le mouvement de la masse.

Une piste pour cette question 4/?

si la fonction x(t) = Acos(Bt) est solution de l'équation différentielle x'' + w0^2x = 0 c'est que :

d2(Acos(Bt)/dt2 + w0^2*Acos(Bt) = 0.
Il te reste à développer et à identifier les termes...

[Soo]

J'ai finalement trouvé que B²=w² donc B= racine(K/m) et que A=d.

Est-ce ce qu'il fallait trouver?

Par contre je n'arrive pas à décrire qualitativement le mouvement de la masse. Faut-il juste dire que la masse oscille ou n'est-ce pas suffisant?

Merci beaucoup!

[Dominique Lefebvre]

J'ai finalement trouvé que B²=w² donc B= racine(K/m) et que A=d.

Est-ce ce qu'il fallait trouver?

Par contre je n'arrive pas à décrire qualitativement le mouvement de la masse. Faut-il juste dire que la masse oscille ou n'est-ce pas suffisant?

Merci beaucoup!

Je n'ai pas vérifié mais ça m'a l'air cohérent... Et c'est pas gentil de nous faire des infidélités et de poster sur d'autres sites (qui sont aussi des copains...)

Ta masse oscille oui mais bon, il faudrait peut être faire une petite étude qualitative: elle oscille comment? est-ce une oscillation amortie? etc....