Récurrence

[zigroful]

Bonjour à tous,
Je bute depuis un certain temps sur un problème . Pourriez-vous me donner une idée de la solution SVP ? Le voici:

Je dispose de 2 récipients A et b contenant chacun un même volume V d'un liquide L1 dans A et L2 dans B, L1 et L2 étant parfaitement miscibles.

Avec un petit verre de volume v, je prélève un volume v du liquide de A que je mélange au liquide de B et je fais la même chose, en sens inverse , à savoir: après avoir bien mélangé en B je prélève un volume v du mélange de B que je verse dans A (étant entendu que le volume v contient cette fois un mélange de L1 et L2)

Je procède n fois à cette opération.
Comment calculer, après la nème étape, le rapport de volumes de L1 et de L2 dans A et dans B ? Y a-t-il une méthode matricielle ? Laquelle ? Bien sûr la solution devrait comprendre v, V et n, mais je ne vois pas par quel bout prendre le problème!
Quelqu'un a-t-il une idée ?
Je vous remercie d'avance

[fatal_error]

hi

tu peux noter a1, a2 les volumes respectifs de L1 et L2 dans A
et noter A', a1', a2' les volumes respectifs apres prélèvement de v dans A
on a alors trivialement A' = A-v
a1' = a1 - x

à toi de voir que vaut x en fonction de a1, a2 et v, sachant que les volumes sont parfaitement miscibles

[lyceen95]

Au départ, tu as un récipient A, de volume V.
Il contient A1 millilitres du liquide 1 , et A2 millitres du liquide A2
Il se trouve que A1=V, et A2=0 dans ton cas particulier, mais on va faire comme si on avait des nombres quelconques, ça va nous permettre de généraliser les calculs.
Le récipient B contient B1 de liquide 1 , et B2 de liquide 2

On transvase de A vers B ... quel est l'état des lieux ?
On transvase de B vers A ... quel est l'état des lieux ?

Voilà, tu as les formules qui te permettent de calculer la situation après un aller-retour à partir de la situation de départ.
Donne déjà ces formules.
On cherchera ensuite si il y a une formule simple pour le cas avec n fois cette opération.