Fonction et trigonométrie

[LaurentGhen]

Bonjour,

Je dois résoudre le problème suivant : « Soit les fonctions f et g définies sur [−π π; ] par
f(x)= 4sin^2(x) et g(x ) = 2x. Quelles sont les positions relatives des courbes
représentatives ?

Pour se faire j'ai posé h(x)= f(x)-g(x)=4sin^2(x)-2x
et je cherche ensuite quand h(x)=0 soit 4sin^2(x)-2x =0

Par contre je n'arrive pas à résoudre cette équation (sauf pour x=0). J'ai tenté de passer par le calcul de delta mais je n'obtiens pas les bons résultats

Si quelqu'un peut m'orienter ?

[hdci]

Bonjour,
Il ne s'agit pas de déterminer si h(x)=0, mais de considérer le signe de h(x).

Il y a un intervalle sur lequel le résultat est immédiat (car on aura la somme de deux termes positifs)

Sur l'autre intervalle, l'étude des variations de h peut être utile.

[LaurentGhen]

Merci pour ce retour

Par contre comment je détermine les points d'intersections qui amènent à un changement de signe ?

[Black Jack]

Bonjour,

h(x)= f(x)-g(x)=4sin^2(x)-2x
Il faut étudier les variations de h(x) sur [-Pi ; Pi]

Avec 0 <= sin²(x) <= 1 , on sait directement que :
h(x) > 0 sur [-Pi ; 0[
et que
h(x) < 0 sur ]2 ; Pi]

Donc il suffit d'étudier les variations de h(x) sur [0 ; 2]
Ceci en étudiant le signe de h'(x) = ...

Tu trouveras ainsi les valeurs de x pour lesquels on a un minimum de h(x) et un maximum de h(x)
En calculant les valeurs de h(x) pour ces valeurs de x (celles pour le min et pour le max), tu trouveras le signe des ces extrema.

Et tu en déduiras les intervalles pour lesquels h(x) s'annule.

Les valeurs des passages par 0 de h(x) pourront alors être trouvées par approximations successives en se limitant à des intervalles où h est monotone (en s'aidant du tableau de variations de h)

...

[LaurentGhen]

Je dois avoir un problème sur le calcul de la dérivée car pour les extremum je ne retombe pas sur les ordonnées d'intersection de f(x) et g(x)

h(x)=4sin²(x)-2x et donc pour moi h(x)'=8sin(x)cos(x)-2

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Oui, et quel est ton problème ?

[LaurentGhen]

Je cherche à trouver les ordonnées qui vont me permettre de définir les intervalles de mon tableau de variation

[LaurentGhen]

oops je me suis trompé je cherche les abscisses

[GaBuZoMeu]

Ton problème, c'est de trouver les dans qui vérifient ? La présence de , ça ne te fait pas penser à une formule trigonométrique ?

[LaurentGhen]

Je viens de revoir mon cours et je n'ai rien trouvé. J'ai aussi regardé sur le net et pas plus. Si tu peux m'aiguiller un peu plus ?

[hdci]

Hum, pas sûr qu'au lycée on ait vu les formules trigo autre que celles avec plus ou moins pi, plus ou moins pi sur deux (elles ne sont pas au programme de la terminale spé).
Par contre on peut s'en tirer (c'est un peu plus calculatoire) en posant X=cos²(x) puis sin²(x)=1-X et résoudre une inéquation en X du second degré : il s'agit de résoudre sur [0,pi]


On peut remarquer que sur [pi/2,pi] c'est jamais vrai car le cosinus est négatif.
Donc on étudie sur [0,pi/2] et cela donne

qu'on peut élever au carré

Soit avec X=cos²(x)



Et on trouve les intervalles pour X pour lesquels c'est vrai, d'où pour cos²(x).

Sinon, la formule trigo dont parle GaBuMoZeu est

[LaurentGhen]

Désolé mais je sèche

Pour faire le tableau de variation il me faut les abscisses des intersections en f(x) et g(x)

Et pour les trouver, résoudre h(x)=0 avec h(x)=f(x)-g(x)=4sin²(x)-2x

Graphiquement je trouve x=0, x=0,555 et x=1,849 (c'est dommage je ne peux ajouter le graphique)

Mais je n'arrive vraiment pas à trouver ces points par calcul. Si vous avez la solution ?

[hdci]

Mais peut-être ne faut-il pas calculer ces abscisses, mais simplement dire qu'elles existent et en donner un encadrement ?

L'étude de la fonction dérivée donne le sens de variation de h.
On va donc trouver, par exemple, que h est croissante entre une abscisse x1 et une abscisse x2 (que là part contre on sait déterminer, cf. ce qui a été écrit précédemment, soit avec la formule trigo, soit avec le polynôme en X=cos²(x)), et que h(x1)<0 et h(x2)>0, cela indique clairement grâce à un certain théorème qui parle d'intermédiaire qu'il existe un réel x0 tel que h(x0)=0, et on sait qu'après x0 h est positive et avant h est négative.
Et cela donne la position relative des courbes, on sait juste que x0 existe, on l'a encadré, et on peut éventuellement l'encadrer par dichotomie de façon plus précise mais il n'y aura pas de "solution-formule exacte".

[LaurentGhen]

Je vais faire comme tu me dis

Toujours un grand merci aux contributeurs