Endomorphisme cyclique

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Bonjour à tous, je bloque sur 2 questions d'un problème donc si quelqu'un pouvait me donner un coup de pouce, ce serait avec plaisir:

Je mets toutes les questions de la partie mais j'ai tout réussi sauf 2 questions.

Soit E, un R espace vectoriel de dimension 2. Soit n≥2. On dit qu'un endomorphisme f de E est cyclique d'ordre n lorsqu'il existe n vecteurs e1,…,en de E vérifiant :
-(e1,...,en) est une famille génératrice deE,
-f(e1)=e2,...,f(en-1)=en,f(en)=e1 et
-∀p, 2≤p≤n, ep≠e1.
On suppose que f∈L(E) et est cyclique d'ordre n.

1)Démontrer qu'il existe 2 réels a et b et une base de E dans laquelle la matrice de f est :
.
J'ai réussi cette question.

2)En admettant que =det()(pour toute matrice M), Montrer que le réel a de la question précédente vaut 1 ou -1 et préciser sa valeur en fonction de la parité de n.
J'ai réussi cette question, il fallait utiliser le fait que et lorsque n est pair a=1 et inversement.

3)Montrer que f2=aId+bf. En déduire que si dans 2 bases différentes, les matrices de f sont Aa,b et A\alpha,\beta, alors a=\alpha et b=\beta
J'ai réussi la première partie. Pour la déduction, on obtient aId+bf= mais je ne sais pas si il faut aboutir à une absurdité ou alors faire et pouvoir conclure..

4)En résumant tout ce que vous venez de faire déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que f soit cyclique d'ordre 2 puis d'ordre 3.
je pensais à:
f est cyclique d'ordre 2 si et seulement si sa matrice peut s'écrire (vu qu'elle est indépendante de la base)
et pour l'ordre 3, la même chose avec a=-1 mais ces conditions sont suffisantes mais pas nécessaires...


Merci beaucoup si vous prenez du temps pour répondre!

[L.A.]

Bonsoir,

pour la question 3,
si b est différent de beta (raisonnement par l'absurde), que peut-on en déduire à propos de f ?

pour la question 4,
la forme de la matrice est plutôt une condition nécessaire mais non suffisante,
il faut examiner pour quelles valeurs de b l'endomorphisme est cyclique ou non, et de quel ordre.

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Pour la 3),
on obtient .
Or k, 1, mais ici cela ne permet pas de conclure je ne vois donc pas l'absurdité..

Pour la 4),
je pensais sinon à f est cyclique d'ordre 2 si et seulement si et mais ici cela est impossible et je ne vois pas comment déterminer la valeur de b pour que ma condition soit suffisante..
Pour l'ordre 3 idem mais avec .

Merci de votre aide

[L.A.]

3)
Si d'une part , et d'autre part est de la forme disons avec réel, alors quelles sont les possibilités pour ? sont-elles compatibles avec les autres hypothèses sur ?

4)
Que valent et ? (fais un calcul à la main).

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3)On déduit que m=1 ou m=0 or k, 1, et f est cyclique donc aboutit à une contradiction. Est ce que cela vous paraît correct?

4)= et
=.

Il y'a donc certaines valeurs de b à éliminer pour que la condition devienne suffisante? J'avoue que je ne vois toujours pas.

Merci

[L.A.]

3) on pourrait aussi avoir m = -1, mais est-ce que -id est cyclique ? (l'argument est un peu plus subtil)

4) OK, et pour que ces matrices soient des identités il faut que b = ?
D'ailleurs, comment se fait-il que tu exclus le cas a = -1 pour l'ordre 2 à la question 1 ? il faut aussi le prendre en compte, et l'examiner à la question 4.

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3)J'ai utilisé cet argument dans une question question précédente du problème:
, mais la matrice de f, dans la base canonique de par exemple, est alors :

, en clair les vecteurs de la base sont colinéaires dans le plan donc la famille ((1,0),(0,1)) n'est pas génératrice donc f n'est pas cyclique.

4)Ok je vais regarder pour les cas possible et je vous redis

Merci de votre aide!

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4)Je pensais que d'après la question 2, si n est pair, alors a=1 et inversement donc 2 étant pair je pensais qu'on pouvait éliminer la possibilité a=-1 pour l'ordre 2.

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4)Je trouve finalement :
f est cyclique d'ordre 2 si et seulement si a=1 et b=0 (unique possibilité pour que sa matrice soit l'identité).
De la même manière, f est cyclique d'ordre 3 si et seulement si a=-1 et b=-1.
Je vais essayer de le démontrer (même si un sens est déjà fait) et de prendre un exemple concret.

Merci

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Je reviens vers vous:
J'ai donc réussi pour l'ordre 2;
Pour l'ordre 3 je bloque sur la deuxième implication:
Supposons que {a,b}={-1,-1}.Alors la matrice de f s'écrit:

dans une base B de E qu'on note (e1,e2).

Mais comment trouver un 3eme vecteur pour que f(e1)=e2,f(e2)=e3 et f(e3)=e1?
On sait par la suite que e3e2e1 et que (e1,e2,e3) est génératrice donc que f est cyclique d'ordre 3.

Merci

[L.A.]

Mais comment trouver un 3eme vecteur pour que f(e1)=e2,f(e2)=e3 et f(e3)=e1?

La réponse est dans la question : le troisième vecteur est l'image du deuxième, c'est-à-dire e3 = - e1 - e2 d'après la matrice.
On retrouve bien cette relation si on pense à une rotation d'angle 120° pour f.

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C'est vrai oui..

Merci beaucoup pour votre aide !