Bonjour à tous, je bloque sur 2 questions d'un problème donc si quelqu'un pouvait me donner un coup de pouce, ce serait avec plaisir:
Je mets toutes les questions de la partie mais j'ai tout réussi sauf 2 questions.
Soit E, un R espace vectoriel de dimension 2. Soit n≥2. On dit qu'un endomorphisme f de E est cyclique d'ordre n lorsqu'il existe n vecteurs e1,…,en de E vérifiant :
-(e1,...,en) est une famille génératrice deE,
-f(e1)=e2,...,f(en-1)=en,f(en)=e1 et
-∀p, 2≤p≤n, ep≠e1.
On suppose que f∈L(E) et est cyclique d'ordre n.
1)Démontrer qu'il existe 2 réels a et b et une base de E dans laquelle la matrice de f est :
.
J'ai réussi cette question.
2)En admettant que =det()(pour toute matrice M), Montrer que le réel a de la question précédente vaut 1 ou -1 et préciser sa valeur en fonction de la parité de n.
J'ai réussi cette question, il fallait utiliser le fait que et lorsque n est pair a=1 et inversement.
3)Montrer que f2=aId+bf. En déduire que si dans 2 bases différentes, les matrices de f sont Aa,b et A\alpha,\beta, alors a=\alpha et b=\beta
J'ai réussi la première partie. Pour la déduction, on obtient aId+bf= mais je ne sais pas si il faut aboutir à une absurdité ou alors faire et pouvoir conclure..
4)En résumant tout ce que vous venez de faire déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que f soit cyclique d'ordre 2 puis d'ordre 3.
je pensais à:
f est cyclique d'ordre 2 si et seulement si sa matrice peut s'écrire (vu qu'elle est indépendante de la base)
et pour l'ordre 3, la même chose avec a=-1 mais ces conditions sont suffisantes mais pas nécessaires...
Merci beaucoup si vous prenez du temps pour répondre!