Espace vectoriel

[copinedeneo]

bonjour j'aurai besoin de quelques indications,

1-je n'arrive pas à déterminer si tout (x,y) est combinaison linéaire de i,j et k et les coefficients sont uniques.
avec E=R² i=(1,0) j=(0,1) et k=(1,-1)


2-j'ai également un problème avec une correction où je suis censé trouver que :
F est un sev de E, avec E=l'ensemble des fonctions de R dans R deux fois dérivables sur R

et F est l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y'+(x-1)y=0

un vecteur de F n'est-il pas un couple (x,y)? et dans ce cas là F n'est pas stable par l'addition...


3-enfin je ne comprends pas pourquoi l'ensemble des fonctions de R dans R qui gardent un signe constant sur R est stable par multiplication, cela dépend du signe du scalaire non ?

merci

[maturin]

1 - non car tu peux exprimer tout point en fonction de i et j
et après tu peux ajouter à ces coordonnées autant de fois que tu veux -i+j+k (qui est égal à 0)

on dit que ta base i,j,k est liée (en gros tu peux exprimer un des vecteurs de cette base avec les autres).
de manière plus générale toute base ayant un nombre d'élément supérieur à la dimense de ton EV est liée.

2 - quand tu parles de couple (x,y) tu te place intuitivement dans un espace vectoriel de dimension 2.
La l'espace vectoriel des fonction 2 fois dérivable sur R est de dimension infinie. donc tu peux pas parler de coordonnées car tu ne peux pas donner de base de F.
donc pour montrer que F est un sev de E il sufit de montrer F inclus dans E et F stable par l'addition et par multiplication par un réel.

en gros si y1 et y2 sont 2 solutions quelconques de ton équation tu montres que a.y1+y2 est aussi solution quelque soit a réel

3 - la loi de multiplication est la loi que tu connais quand tu multiplies 2 nombres de R.
et
donne

en gros il faut montrer que K inclus dans R+ c'est à dire que

remarque en passant je viens de voir l'autre post, où la multiplication est sous entendu comme un produit par un réel ça a l'air mieux comme explication

[drazala]

Pour le 1 : il n'y a pas unicité (tu verras plus tard R² est de dimension 2 or tu as trois vecteurs) par exemple (1,-1) = 1*i+(-1)*j +0*k mais aussi
(1,-1)=0*i+0*k+1*k.

Pour le 2 ton espace vectoriel est un espace de fonctions, donc les vecteurs sont des fonctions uniquement et non des couples (y,x).

Pour le 3 tu as parfaitement raison ca depend du signe mais on te di "garde un signe constant" or quand tu multiplies par un scalaire négatif tu changes le signe mais il reste constant...

Drazala

[copinedeneo]

merci bonne continuation