Solution des EDP linéaires homogènes

[Rhaegar]

Bonsoir,

La théorie des EDO nous dit que les solutions d'une EDO linéaire homogène de degré n forment un espace vectoriel de dimension n. Je voulais savoir si c'était également le cas pour les EDP. Par exemple pour l'équation de Poisson en dimension 2, peut-on dire que les solutions forment un espace vectoriel de dimension un certain entier n ? Si oui, existe-il un théorème pour déterminer la dimension de cet espace pour n'importe quelle EDP linéaire ?

Rhaegar

[Skullkid]

Bonjour,

Une réponse quelque peu tardive : intuitivement, à partir du moment où on a affaire à des EDP, les conditions initiales et/ou aux limites qui correspondent aux degrés de liberté des solutions ne sont plus des nombres mais des fonctions. Du coup, dans les cas génériques il y a fort à parier que les solutions d'une EDP linéaire forment un espace de dimension infinie. Le théorème de Cauchy-Kowalevski donne une condition suffisante pour "bien poser" (c'est-à-dire donner suffisamment de conditions pour obtenir une unique solution) les problèmes qui font intervenir certaines EDP.

Dans le cas de l'équation de Laplace en 2D, les solutions polynomiales forment déjà un espace de dimension infinie.

[Rhaegar]

Merci beaucoup pour votre réponse !

Je ne comprends pas votre dernière remarque. Quelle forme ont les solutions polynomiales ?

[Skullkid]

Les parties réelles et imaginaires des engendrent toutes les solutions polynomiales, si ma mémoire ne me fait pas défaut.

[Rhaegar]

Merci !