Difference entre cosec et sin^-1

[spyrakos]

Bonjour,

Si je ne me trompe pas est la fonction inverse de càd . Mais quelle est la difference entre et . J'ai l'impression que c'est pareil

[Black Jack]

Attention à la notation

Dans la majorité des applications, est écrit pour , c'est à dire que la valeur renvoyée y est celle comprise dans [-Pi/2 ; Pi/2] qui a x pour sinus.

A ne pas confondre avec ... qui elle est équivalente à
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La notation est d'origine anglo-saxonne, je pense, la notation européenne étant .
Malheureusement, la notation anglosaxonne est de plus en plus employée même en Europe (ne serait-ce que via les calculettes, qui utilisent cette notation).

... Et cela engendre bien des incompréhensions (comme celle exprimée ici dans ta question)
********

On a évidemment des problèmes similaires avec et utilisées pour et

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Le risque de confusion est d'autant plus grand qu'on a pris l'habitude d'écrire par exemple : sin²(x) au lieu de (sin(x))² et que dès lors, si on étend cette "habitude" avec un exposant "-1" on ne peut plus distinguer 1/sin(x) de arcsin(x) si on écrit

Comme on ne peut pas empêcher ces notations (que je qualifierai pour ma part d'idiotes) largement répandues, on ne peut le faire qu'en réfléchissant à la nature du problème qui utilisent ces notations.
Avec :
a) Si y doit être un angle (ou un arc), alors c'est que doit être compris comme
b) si y est sans unité, alors c'est que doit être compris comme

Exemples simples :
Dans l'expression : Pi/2 + = 1,2
doit avoir la même unité que Pi/2 ... donc être en radian, donc être un angle (ou un arc)
---> ici doit être compris comme arcsin(x)

Dans l'expression : tan(x) + = 2,75
doit avoir la même unité que tan(x), donc pas d'unité ...
---> ici doit être compris comme 1/sin(x)
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Pour éviter la confusion, il serait mieux d'éviter les notations comme pour 1/sin(x)

En espérant ne pas t'avoir brouillé d'avantage.

[lyceen95]

En d'autres mots...
On parle de l'inverse d'un nombre , et par ailleurs de l'inverse d'une fonction.
Et je vais tout de suite corriger : on parle de l'inverse d'un nombre, et par ailleurs de la réciproque d'une fonction. (par abus de langage, on utilise aussi le mot fonction inverse... mais pour clarifier, je préfère le mot fonction réciproque).
Ces 2 concepts nombre inverse et fonction réciproque sont assez différents, mais le piège, c'est qu'on retrouve dans les 2 cas l'exposant et aussi on retrouve le mot inverse.

L'inverse d'un nombre d'abord : L'inverse de 3, c'est 1/3 ; l'inverse de , c'est , qu'on note également

La fonction réciproque de sin, c'est qu'on note souvent
Si , alors , ou encore

: l'exposant s'applique à la fonction : c'est la fonction réciproque de la fonction , c'est
: l'exposant s'applique au nombre : c'est le nombre inverse du nombre , c'est le nombre

Si on retrouve la même notation (exposant -1) pour ces 2 concepts différents, ce n'est pas pour piéger les élèves... il y a une certaine logique à utiliser la même notation. Une logique incontestable.

[hdci]

Bonjour,
Tout le truc c'est que ce n'est que dans le supérieur qu'on peut vraiment comprendre pourquoi cet "exposant -1" pour une réciproque... Il faut avoir abordé des notions de loi de composition interne, d'élément neutre, ede symétrique...

Pour simplifier : l'inverse d'un nombre x, c'est le nombre y tel que xy=1, où 1 est l'élément neutre de la multiplication (quand on multiplie par 1 on "reste sur le même nombre" en quelque sorte). On a ici une "opération dans l'ensemble des nombres", la multiplication.

Quand on se place non plus dans un ensemble de nombres, mais dans un ensemble de fonctions, on peut (sous réserve de quelques conditions que j'omettrais ici) définir une opération : la "composition". On note cela "rond", avec deux fonctions f et g, on définit la fonction comme étant la fonction qui à x associe f(g(x)) (on "enchaîne" les fonctions).

Et là on se rend compte que la fonction qui à x associe x est un élément neutre pour cette opération : en effet, si on appelle Id cette fonction, alors et

Du coup, s'il existe une fonction g telle que , alors g est "l'inverse" de f au regard de cette opération "rond". D'où la notation , par "analogie" avec l'inverse d'un nombre au regard de la multiplication.