Triangles et trigonométrie

[galatic]

Bonjour,
Je suis confronté à un problème pratique, dans mon cas, la géométrie et la trigo remontant à plusieurs décénnies
J'ai un triangle équilatéral ABC de côté e et un point X situé à l'extérieur du triangle avec dans tous les cas XA = x > 3e
De plus, j'ai les données :

• XB = x + b
• XC = x + c

Je souhaite obtenir la position du point X, pour celà, il me faut :

• la valeur de x
• au moins l'un des angles <XAB>, <XBA>, <XAC>, <XCA>

D'où mes questions :

• les données connues b, c, e sont-elles suffisantes pour établir les équations
• si oui, quelles sont les équations de départ pour résoudre le problème

Merci de m'indiquer les voies possibles.

[phyelec]

Bonjour,
Vous avez un triangle équilatéral ABC. :En géométrie euclidienne, un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles internes ont alors la même mesure de 60 degrés ( dixit Wikipédia)
Sinon, vous écrivez XB = x + b et XC = x + c : de quoi s'agit-il ? de distance ?
Je n'ai pas compris ce que vous souhaitiez calculer?

[galatic]

Bonjour,
J'ai la figure géométrique suivante (ABC étant un triangle équilatéral) :



avec la longueur des segments :
XA = x
XB = x+b
XC = x+c
et AB = AC = BC = e la longueur du côté du triangle équilatéral.
Je connais b, c, e.
Je veux déterminer la position du point X : je veux donc connaitre :

• la valeur de la longueur XA = x
• au moins la valeur de l'un des angles : <XAB>, <XBA>, <XAC>, <XCA>

D'où mes questions :

• les données connues b, c, e sont-elles suffisantes pour établir les équations
• si oui, quelles sont les équations de départ pour résoudre le problème

[hdci]

Bonjour,

Commençons par considérer x comme une variable. Alors, en considérant le cercle de centre B et de rayon (b+x), et le cercle de centre C et de rayon (c+x), on obtient 2, 1 ou aucun point d'intersection. Il s'agit alors de trouver x tel que la distance de A à l'un de ces points soit égal à x, et l'existence et l'unicité éventuelle de x donnera l'existence et l'unicité de X.

On peut penser à résoudre de façon algébrique : quitte à "faire une homothétie" (ou une mise à l'échelle), on peut considérer que e=1, et on considère alors le repère orthonormé (B,C,D) dans lequel B est le centre, C a pour coordonnées (1;0) et D (0;1). Comme le triangle est équilatéral, cela donne les coordonnées de A :

• la médiatrice et la médiane étant confondues dans un triangle équilatéral, son abscisse est 1/2
• en utilisant Pythagore, on obtient son ordonné qui est

Dans la suite, les coordonnées sont appelées u et v pour ne pas confondre avec l'inconnue x.

L'équation du cercle centré en B est
L'équation du cercle centré en C est

On en tire alors les coordonnées de l'intersection des deux cercles :

• Pour l'abscisse, on effectue la différence des deux équations et cela donne (sauf erreur de calcul de ma part) soit
  
  Ce qui donne une abscisse unique.
• On en tire l'ordonnée en remplaçant dans la première équation par exemple :
  
  v n'existe que si la différence est positive ce qui donne déjà une condition sur x (en fonction de b et de c).

On a maintenant deux points X et X' (si v existe ; éventuellement confondus si v=0), de coordonnées (u;v) et (u;-v), intersection des deux cercles. On cherche alors x tel que
ou

Cela donne finalement une équation du second degré en x. Sachant qu'on ne retiendra le cas échéant que la solution positive (s'il n'y a que des solutions négatives, pas de solution pour X, etc.) et que x doit vérifier la condition d'existence de v indiquée plus haut.

Là je n'ai pas le courage de développer.

Il y a peut-être une considération plus géométrique...